Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de Laplace de
. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente usando propriedades de deslocamento no tempo e transformadas de funções trigonométricas. Vamos precisar usar a propriedade da transformada inversa para
e decompor a fração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a expressão em duas partes para facilitar a resolução:
Aqui, dividimos a fração original em duas frações menores. A primeira parte tem um termo
, que vai nos indicar um deslocamento no tempo na transformada inversa. A segunda parte é uma fração simples que vamos resolver diretamente.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador
. Para isso, completamos o quadrado:
Assim, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos lidar com cada termo separadamente. Começando com
, podemos escrever
como
:
Isso nos ajuda a identificar as formas de funções conhecidas cuja transformada inversa já conhecemos.
Passo 5
Sabemos que:
No nosso caso,
e
. Então, aplicando essas fórmulas:
Passo 6
Voltando ao primeiro termo da expressão original, temos
multiplicando
. A presença de
indica um deslocamento no tempo. A propriedade é:
onde
é a função degrau unitário. Então, aplicando isso ao nosso caso:
Passo 7
Agora, tratamos a segunda parte da expressão original, que é
. Usando a fórmula da transformada inversa:
Resposta
Portanto, juntando todas as partes, a transformada inversa de Laplace é:
Exercícios relacionados
Calcule:
Escreva a função abaixo em termos das funções degraus apropriadas:
Determine a solução do PVI abaixo e interprete a sua solução de acordo com a teoria das oscilações.