Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de Laplace de . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente usando propriedades de deslocamento no tempo e transformadas de funções trigonométricas. Vamos precisar usar a propriedade da transformada inversa para e decompor a fração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a expressão em duas partes para facilitar a resolução:
Aqui, dividimos a fração original em duas frações menores. A primeira parte tem um termo , que vai nos indicar um deslocamento no tempo na transformada inversa. A segunda parte é uma fração simples que vamos resolver diretamente.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador . Para isso, completamos o quadrado:
Assim, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos lidar com cada termo separadamente. Começando com , podemos escrever como :
Isso nos ajuda a identificar as formas de funções conhecidas cuja transformada inversa já conhecemos.

Passo 5

Sabemos que:
No nosso caso, e . Então, aplicando essas fórmulas:

Passo 6

Voltando ao primeiro termo da expressão original, temos multiplicando . A presença de indica um deslocamento no tempo. A propriedade é:
onde é a função degrau unitário. Então, aplicando isso ao nosso caso:

Passo 7

Agora, tratamos a segunda parte da expressão original, que é . Usando a fórmula da transformada inversa:

Resposta

Portanto, juntando todas as partes, a transformada inversa de Laplace é:

Exercícios relacionados

Calcule:
Escreva a função abaixo em termos das funções degraus apropriadas:
Determine a solução do PVI abaixo e interprete a sua solução de acordo com a teoria das oscilações.