Determine uma função que é contínua em um único ponto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma função que seja contínua apenas em um ponto. O assunto aqui é continuidade de funções no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é continuidade e como construir uma função que só funciona bem em um único ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Em fórmula:
Isso significa que, se você desenhar o gráfico da função, não vai ter “saltos” ou “buracos” naquele ponto.

Passo 3

Agora, queremos uma função que seja contínua apenas em um ponto e descontínua em todos os outros. Uma boa estratégia é usar a diferença entre números racionais e irracionais, já que eles estão misturados na reta real.
Vamos definir a função da seguinte forma:
éé
Essa é conhecida como a função de Dirichlet.

Passo 4

Mas pera aí! A função de Dirichlet é discontínua em todos os pontos porque, não importa onde você olhe, sempre tem racionais e irracionais bem perto. Então, pra ter uma única continuidade, precisamos ajustar essa função.

Passo 5

Vamos escolher um ponto específico, por exemplo , para ser o único ponto de continuidade. Então, vamos redefinir a função assim:
á

Passo 6

Agora, vamos ver se essa função atende ao que queremos:
  • Em :
Então, na verdade, essa função não é contínua em . Precisamos melhorar isso.

Passo 7

Vamos tentar outra abordagem. Definimos a função assim:
éé

Passo 8

Vamos verificar a continuidade dessa nova função:
  • Em :
Então, a função é contínua em .
  • Para :
Se for racional, . Se for irracional, . Como os racionais e irracionais estão misturados, o limite não vai coincidir com exceto em . Portanto, a função é descontínua em todos os outros pontos.

Resposta

A função definida por
éé
é contínua apenas em .

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