Determine uma função
que é contínua em um único ponto.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma função
que seja contínua apenas em um ponto. O assunto aqui é continuidade de funções no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é continuidade e como construir uma função que só funciona bem em um único ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Em fórmula:
Isso significa que, se você desenhar o gráfico da função, não vai ter “saltos” ou “buracos” naquele ponto.
Passo 3
Agora, queremos uma função que seja contínua apenas em um ponto e descontínua em todos os outros. Uma boa estratégia é usar a diferença entre números racionais e irracionais, já que eles estão misturados na reta real.
Vamos definir a função da seguinte forma:
Essa é conhecida como a função de Dirichlet.
Passo 4
Mas pera aí! A função de Dirichlet é discontínua em todos os pontos porque, não importa onde você olhe, sempre tem racionais e irracionais bem perto. Então, pra ter uma única continuidade, precisamos ajustar essa função.
Passo 5
Vamos escolher um ponto específico, por exemplo
, para ser o único ponto de continuidade. Então, vamos redefinir a função assim:
Passo 6
Agora, vamos ver se essa função atende ao que queremos:
- Em
:
Então, na verdade, essa função não é contínua em
. Precisamos melhorar isso.
Passo 7
Vamos tentar outra abordagem. Definimos a função assim:
Passo 8
Vamos verificar a continuidade dessa nova função:
- Em
:
Então, a função é contínua em
.
- Para
:
Se
for racional,
. Se for irracional,
. Como os racionais e irracionais estão misturados, o limite não vai coincidir com
exceto em
. Portanto, a função é descontínua em todos os outros pontos.
Resposta
A função definida por
é contínua apenas em
.
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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
y)
y)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
o)
o)
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:
c)
c)
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
b)
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