Calcule, se existirem, os seguintes limites:
m)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse problema está ligado ao estudo de limites de funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como a expressão dentro do logaritmo se comporta conforme vai para menos infinito e depois aplicar as propriedades dos logaritmos nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do logaritmo: . Quando tende a , queremos saber qual termo dessa expressão vai dominar, ou seja, qual termo cresce mais rápido.

Passo 3

Observando os termos:
  • é uma constante, que não muda conforme varia.
  • é um termo linear, que cresce proporcionalmente a .
  • é um termo cúbico, que cresce muito mais rápido que os anteriores quando se afasta para .
Assim, o termo dominante aqui é .

Passo 4

Como domina, podemos simplificar a expressão para entender o comportamento geral:

Passo 5

Agora, sabemos que está indo para , então se torna positivo e tende a , já que:
Portanto:

Passo 6

Agora, aplicamos o logaritmo natural na expressão que tende a :
Sabemos que , porque o logaritmo de um número muito grande cresce sem limites.

Resposta

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Derive as seguintes funções:
b) .
Prove que
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
w)
Considere duas funções tais que se e é limitada, então