Calcule, se existirem, os seguintes limites:
m)
m)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Esse problema está ligado ao estudo de limites de funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como a expressão dentro do logaritmo se comporta conforme
vai para menos infinito e depois aplicar as propriedades dos logaritmos nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do logaritmo:
. Quando
tende a
, queremos saber qual termo dessa expressão vai dominar, ou seja, qual termo cresce mais rápido.
Passo 3
Observando os termos:
-
é uma constante, que não muda conforme varia. -
é um termo linear, que cresce proporcionalmente a . -
é um termo cúbico, que cresce muito mais rápido que os anteriores quando se afasta para .
Assim, o termo dominante aqui é
.
Passo 4
Como
domina, podemos simplificar a expressão para entender o comportamento geral:
Passo 5
Agora, sabemos que
está indo para
, então
se torna positivo e tende a
, já que:
Portanto:
Passo 6
Agora, aplicamos o logaritmo natural na expressão que tende a
:
Sabemos que
, porque o logaritmo de um número muito grande cresce sem limites.
Resposta
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Derive as seguintes funções:
b) .
b)
Prove que
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
w)
w)
Considere
duas funções tais que se
e
é limitada, então