Considere f, g duas funções tais que se lim x a f(x)g(x)=1 e g é limitada, então lim x a f(x)-g(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , e sabemos que quando se aproxima de , a razão tende a 1. Além disso, é uma função limitada, ou seja, seus valores não “explodem” para infinito. A gente precisa mostrar que, com essas condições, o limite de quando tende a é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, perto de , está praticamente igual a , já que a razão entre elas está se aproximando de 1. Em outras palavras, quando está perto de .

Passo 3

Agora, como é limitada, existe um número real tal que, para todo próximo de , . Isso significa que não vai ficar maior que em valor absoluto perto de .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão f(x) - g(x) = g(x) ( f(x)g(x) - 1 ) . Podemos fatorar de dentro da diferença:
Agora, sabemos que tende a 1, então tende a 0.

Passo 5

Usando a propriedade do limite do produto, temos que:
limx to a f(x) - g(x) = limx to a g(x) cdot limx to a ( f(x)g(x) - 1 )
Já sabemos que e, como é limitada, existe e é finito.

Passo 6

Multiplicando os limites, temos:
limx to a f(x) - g(x) = limx to a g(x) cdot 0 = 0
Portanto, o limite de quando se aproxima de é igual a zero.

Resposta

limx to a f(x) - g(x) = 0

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