Considere
duas funções tais que se
e
é limitada, então
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
, e sabemos que quando
se aproxima de
, a razão
tende a 1. Além disso,
é uma função limitada, ou seja, seus valores não “explodem” para infinito. A gente precisa mostrar que, com essas condições, o limite de
quando
tende a
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, perto de
,
está praticamente igual a
, já que a razão entre elas está se aproximando de 1. Em outras palavras,
quando
está perto de
.
Passo 3
Agora, como
é limitada, existe um número real
tal que, para todo
próximo de
,
. Isso significa que
não vai ficar maior que
em valor absoluto perto de
.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão
. Podemos fatorar
de dentro da diferença:
Agora, sabemos que
tende a 1, então
tende a 0.
Passo 5
Usando a propriedade do limite do produto, temos que:
Já sabemos que
e, como
é limitada,
existe e é finito.
Passo 6
Multiplicando os limites, temos:
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é igual a zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
w)
w)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
m)
m)
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:
b)
b)
Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
b)
b)