Prove que d/dx(csc(x)) = -csc(x)cot(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a derivada de em relação a x é igual a . Isso está dentro de cálculo diferencial, especificamente lidando com derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar regras de derivação e entender bem as funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função que representa o inverso do seno, ou seja, . Saber isso é crucial porque vamos precisar derivar uma função que está no denominador.

Passo 3

Agora, para derivar , que é igual a , vamos usar a regra da derivada de uma função do tipo , onde u é uma função de x. A regra diz que:
Aqui, , então precisamos encontrar a derivada de u, ou seja, .

Passo 4

Aplicando a regra que mencionamos:
Agora, vamos simplificar essa expressão para chegar na forma que o enunciado pede.

Passo 5

Observando a expressão , podemos reescrever como , já que . Além disso, . Então, multiplicando por :
Que é exatamente o que obtivemos na derivada.

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados