Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a derivada de
em relação a
é igual a
. Isso está dentro de cálculo diferencial, especificamente lidando com derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar regras de derivação e entender bem as funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função que representa o inverso do seno, ou seja,
. Saber isso é crucial porque vamos precisar derivar uma função que está no denominador.
Passo 3
Agora, para derivar
, que é igual a
, vamos usar a regra da derivada de uma função do tipo
, onde
é uma função de
. A regra diz que:
Aqui,
, então precisamos encontrar a derivada de
, ou seja,
.
Passo 4
Aplicando a regra que mencionamos:
Agora, vamos simplificar essa expressão para chegar na forma que o enunciado pede.
Passo 5
Observando a expressão
, podemos reescrever
como
, já que
. Além disso,
. Então, multiplicando
por
:
Que é exatamente o que obtivemos na derivada.
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Determine onde, se existir, a reta tangente à
é perpendicular à reta
.
Encontre a reta tagente à função
no ponto
.
Derive as seguintes funções:
b) .
b)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
m)
m)