Calcule, se existirem, os seguintes limites:
n) lim x 0^+ raizx-raiz[3]x^2raiz[3]x^2-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0^+ raizx-raiz[3]x^2raiz[3]x^2-x. A matéria aqui é cálculo, mais especificamente cálculo de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando se aproxima de 0 pela direita ( ).

Passo 3

Vamos reescrever as raízes para facilitar:

Passo 4

Substituindo na expressão original, temos:
x^1/2 - x^2/3(x^2 - x)^1/3

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador. Fatorando x^2 - x = x(x - 1) de (x^2 - x)^1/3 = [x(x - 1)]^1/3 = x^1/3(x - 1)^1/3 :
Então:

Passo 6

Substituindo de volta, a expressão fica:
Podemos separar isso em:
x^1/2 - x^2/3x^1/3(x - 1)^1/3

Passo 7

Simplificando cada termo:
x^1/2x^1/3 = x^1/2 - 1/3 = x^1/6
e
x^2/3x^1/3 = x^2/3 - 1/3 = x^1/3
Então, a expressão fica:
x^1/6(x - 1)^-1/3 - x^1/3(x - 1)^-1/3

Passo 8

Agora, podemos fatorar x^1/6(x - 1)^-1/3 - x^1/3(x - 1)^-1/3 = (x - 1)^-1/3(x^1/6 - x^1/3) do primeiro termo e do segundo:

Passo 9

Notamos que está para 0 mais devagar que quando se aproxima de 0. Portanto, domina, e a expressão tende a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
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Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
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Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
i) I = {x ∈ R | x ≥ 1}
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(n) f(x) = (2 + 3 x)^x,