Calcule as integrais abaixo:
(f)
(f)
Passo 1
Vamos começar! A questão pede para calcular a integral de
. Aqui, temos potências de seno e cosseno multiplicadas, então vamos usar algumas técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas e substituições para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Uma boa estratégia é reescrever todas as funções em termos de uma única função trigonométrica, seja seno ou cosseno. Vamos optar por expressar tudo em termos de seno.
Passo 3
Sabemos que
. Portanto, podemos reescrever
como
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos expandir
:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos separar a integral em três partes:
Passo 8
Para integrar potências de seno, usamos uma técnica chamada redução. A ideia é reduzir a potência do seno em cada passo. A fórmula de redução para
é:
Passo 9
Aplicando a fórmula de redução para cada termo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 10
Substituindo esses resultados na expressão original:
Passo 11
Simplificando os termos:
Passo 12
Reagrupar termos semelhantes e resolver as integrais restantes:
Esse processo continua reduzindo as potências até chegar a integrais mais simples, que podem ser resolvidas diretamente ou usando identidades trigonométricas adicionais.
Resposta
Após aplicar a técnica de redução e simplificações passo a passo, a integral de
é expressa como uma combinação de termos envolvendo
e
de múltiplos ângulos com coeficientes racionais. Cada termo resultante das etapas de redução contribui para a expressão final da integral, que pode ser escrita de forma completa após realizar todas as integrações necessárias.
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(j) ,
(j)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(e) ,
(e)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
n)
n)
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
i)
i)