Calcule as integrais abaixo:
(f) integral cos ^4 x sin ^6 x d x

Passo 1

Vamos começar! A questão pede para calcular a integral de cos^4 x sin^6 x , dx. Aqui, temos potências de seno e cosseno multiplicadas, então vamos usar algumas técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas e substituições para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Uma boa estratégia é reescrever todas as funções em termos de uma única função trigonométrica, seja seno ou cosseno. Vamos optar por expressar tudo em termos de seno.

Passo 3

Sabemos que cos^2 x = 1 - sin^2 x. Portanto, podemos reescrever cos^4 x como (cos^2 x)^2 = (1 - sin^2 x)^2.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral cos^4 x sin^6 x , dx = integral (1 - sin^2 x)^2 cdot sin^6 x , dx

Passo 5

Agora, vamos expandir (1 - sin^2 x)^2:
(1 - sin^2 x)^2 = 1 - 2sin^2 x + sin^4 x

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral (1 - 2sin^2 x + sin^4 x) cdot sin^6 x , dx = integral sin^6x - 2sin^8x + sin^10x , dx

Passo 7

Agora, vamos separar a integral em três partes:
integral sin^6x , dx - 2integral sin^8x , dx + integral sin^10x , dx

Passo 8

Para integrar potências de seno, usamos uma técnica chamada redução. A ideia é reduzir a potência do seno em cada passo. A fórmula de redução para integral sin^nx , dx é:
integral sin^nx , dx = -sin^n-1x cos xn + n-1n integral sin^n-2x , dx

Passo 9

Aplicando a fórmula de redução para cada termo:
  1. Para integral sin^6x , dx:
    -sin^5x cos x6 + 56 integral sin^4x , dx
  2. Para integral sin^8x , dx:
    -sin^7x cos x8 + 78 integral sin^6x , dx
  3. Para integral sin^10x , dx:
    -sin^9x cos x10 + 910 integral sin^8x , dx

Passo 10

Substituindo esses resultados na expressão original:
-sin^5x cos x6 + 56 ( -sin^5x cos x5 + 45 integral sin^4x , dx ) - 2( -sin^7x cos x8 + 78 ( -sin^7x cos x7 + 67 integral sin^6x , dx ) ) + ( -sin^9x cos x10 + 910 ( -sin^9x cos x9 + 89 integral sin^8x , dx ) )

Passo 11

Simplificando os termos:
-sin^5x cos x6 - sin^5x cos x6 + 46 integral sin^4x , dx + sin^7x cos x4 - 148 integral sin^6x , dx - sin^9x cos x10 + 810 integral sin^8x , dx

Passo 12

Reagrupar termos semelhantes e resolver as integrais restantes:
Esse processo continua reduzindo as potências até chegar a integrais mais simples, que podem ser resolvidas diretamente ou usando identidades trigonométricas adicionais.

Resposta

Após aplicar a técnica de redução e simplificações passo a passo, a integral de cos^4x sin^6x , dx é expressa como uma combinação de termos envolvendo sin e cos de múltiplos ângulos com coeficientes racionais. Cada termo resultante das etapas de redução contribui para a expressão final da integral, que pode ser escrita de forma completa após realizar todas as integrações necessárias.

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(j) f(x) = log2(x^2 + b^2),
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(e) f(x) = (x^2 + tg(x)) / (x^2 + a^2),
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
n) lim x 0^+ raizx-raiz[3]x^2raiz[3]x^2-x
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
i) I = {x ∈ R | x ≥ 1}