Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(n) f(x) = (2 + 3 x)^x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a derivada da função . A matéria envolvida é a derivação de funções compostas, e para isso vamos usar a regra da cadeia. Vamos precisar entender como diferenciar funções que têm uma variável tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro, é legal reescrever a função para facilitar a derivação. Quando temos algo como , onde ambas e são funções de , uma boa estratégia é usar logaritmos. Então, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar:

Passo 4

Nossa próxima etapa é derivar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, usando a regra da cadeia, a derivada de é . No lado direito, temos um produto de duas funções, e , então vamos aplicar a regra do produto:
Aqui, a derivada de é porque usamos a regra da cadeia novamente.

Passo 5

Agora, para encontrar , basta multiplicar ambos os lados por :
Lembrando que .

Resposta

A derivada da função é:

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