Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(n)
,
(n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a derivada da função
. A matéria envolvida é a derivação de funções compostas, e para isso vamos usar a regra da cadeia. Vamos precisar entender como diferenciar funções que têm uma variável tanto na base quanto no expoente.
Passo 2
Primeiro, é legal reescrever a função para facilitar a derivação. Quando temos algo como
, onde ambas
e
são funções de
, uma boa estratégia é usar logaritmos. Então, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar:
Passo 4
Nossa próxima etapa é derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, usando a regra da cadeia, a derivada de
é
. No lado direito, temos um produto de duas funções,
e
, então vamos aplicar a regra do produto:
Aqui, a derivada de
é
porque usamos a regra da cadeia novamente.
Passo 5
Agora, para encontrar
, basta multiplicar ambos os lados por
:
Lembrando que
.
Resposta
A derivada da função é:
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i)
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n)
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