Calcule, se existirem, os seguintes limites:
s) lim x 0 raizx^2+x^4x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 raizx^2+x^4x
Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes e analisar o comportamento da função quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: . Podemos tentar simplificar essa raiz para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos fatorar raizx^2 + x^4 = raizx^2(1 + x^2) = |x| cdot raiz1 + x^2 dentro da raiz:
Aqui, usamos a propriedade da raiz de um produto e lembramos que , que é o valor absoluto de .

Passo 4

Substituímos de volta na expressão original:
raizx^2 + x^4x = |x| cdot raiz1 + x^2x
Agora, vamos simplificar essa fração.

Passo 5

A simplificação depende do sinal de x cdot raiz1 + x^2x = raiz1 + x^2 :
  • Se -x cdot raiz1 + x^2x = -raiz1 + x^2 , então . Assim:
  • Se , então . Assim:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando raiz1 + x^2 to raiz1 + 0 = 1 se aproxima de 0:
  • Pelo lado positivo ( -raiz1 + x^2 to -raiz1 + 0 = -1 ):
  • Pelo lado negativo ( ):

Passo 7

Como os limites pelos dois lados são diferentes (1 e -1), isso significa que o limite geral não existe. Em outras palavras, a função se comporta de maneira diferente dependendo de como se aproxima de 0.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes.

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