Calcule, se existirem, os seguintes limites:
x)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver: calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e um pouquinho de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir na expressão para ver o que acontece:
Essa forma é chamada de indeterminada, ou seja, não conseguimos concluir nada só com essa substituição. Então, precisamos usar outra técnica para resolver.

Passo 3

Uma das técnicas que podemos usar nesse caso é a Regra de L’Hôpital. Essa regra é muito útil quando nos deparamos com limites que dão as formas ou . Ela diz que, nessas situações, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital na nossa expressão. Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:

Passo 6

Sabemos que . Então, substituindo na nova expressão:

Resposta

O limite é 0.

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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
s)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
n)
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:
e)
Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
d)