Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição básica de derivada:
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na definição:
Vamos simplificar dentro das raízes:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Para lidar com as raízes no numerador, vamos multiplicar e dividir pela conjugada para racionalizar o numerador. A conjugada de
é
. Então, fazemos:
Passo 4
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Aplicando isso:
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 5
Agora, podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 6
Como
tende a 0, a expressão
tende a
. Portanto, substituímos
por 0:
Resposta
A derivada de
é:
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<html><head></head><body><div>Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:<br>
e) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.605ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 6455.6 1000”><title>g(x) = tan(2 x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z”></path></g><g 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289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(6066.6,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
e) <span class=“math-inline “>
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</body></html>
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
x)
x)
<html><head></head><body><div>Dada a função <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“18.867ex” height=“2.451ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.2 8339 1083.2”><title>Y(t) = 2t^3 + 9t + 5</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D44C” d=“M66 637Q54 637 49 637T39 638T32 641T30 647T33 664T42 682Q44 683 56 683Q104 680 165 680Q288 680 306 683H316Q322 677 322 674T320 656Q316 643 310 637H298Q242 637 242 624Q242 619 292 477T343 333L346 336Q350 340 358 349T379 373T411 410T454 461Q546 568 561 587T577 618Q577 634 545 637Q528 637 528 647Q528 649 530 661Q533 676 535 679T549 683Q551 683 578 682T657 680Q684 680 713 681T746 682Q763 682 763 673Q763 669 760 657T755 643Q753 637 734 637Q662 632 617 587Q608 578 477 424L348 273L322 169Q295 62 295 57Q295 46 363 46Q379 46 384 45T390 35Q390 33 388 23Q384 6 382 4T366 1Q361 1 324 1T232 2Q170 2 138 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Determine se existir(em), o(s) ponto(s) nos quais a função para de variar.</div>
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157Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>. Determine se existir(em), o(s) ponto(s) nos quais a função para de variar.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre as derivadas das seguintes funções<br>
d) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“27.921ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 12341.1 1199”><title>g(x) = (1 + 2x)(2 - x + x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z”></path></g><g 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