Ponha tanh z = senh(z) / cosh(z). Calcule sua derivada. Dê essa função na forma u + i v. Determine os pontos z para os quais tanh z é real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com a função hiperbólica . A matéria envolvida aqui é o cálculo de funções complexas, especificamente derivadas de funções hiperbólicas no campo dos números complexos. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções quocientes e como expressar funções complexas na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Sabemos que . Para derivar essa função, usamos a regra do quociente, que diz que se temos , a derivada é .
Então, vamos derivar:
Sabemos de uma identidade hiperbólica que , então substituindo:
Portanto, a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função na forma , onde u e v são funções reais de x e y, sendo .
Sabemos que:
Então:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Realizando as multiplicações e simplificações, obtemos:
Simplificando mais, temos:
E como , simplificamos v:

Passo 4

Agora, queremos determinar os pontos z para os quais é real. Isso acontece quando a parte imaginária v é igual a zero.
Observando a expressão de v:
Para que , o numerador deve ser zero:
Isso acontece quando:
Resolvendo:
  1. implica , onde n é inteiro.
  2. implica , onde n é inteiro.
Vamos analisar cada caso:
  • Caso 1:
Substituindo em v, temos:
Portanto, para qualquer x, é real quando .
  • Caso 2:
Substituindo em v, temos:
Sabemos que , então:
ã
Portanto, também para qualquer x, é real quando .

Resposta

A função é real nos pontos onde , com ou , onde n é um número inteiro. Ou seja, é real quando:

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