Ponha
. Calcule sua derivada. Dê essa função na forma
. Determine os pontos
para os quais tanh
é real.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com a função hiperbólica
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de funções complexas, especificamente derivadas de funções hiperbólicas no campo dos números complexos. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções quocientes e como expressar funções complexas na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Sabemos que
. Para derivar essa função, usamos a regra do quociente, que diz que se temos
, a derivada é
.
Então, vamos derivar:
Sabemos de uma identidade hiperbólica que
, então substituindo:
Portanto, a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função
na forma
, onde
e
são funções reais de
e
, sendo
.
Sabemos que:
Então:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Realizando as multiplicações e simplificações, obtemos:
Simplificando mais, temos:
E como
, simplificamos
:
Passo 4
Agora, queremos determinar os pontos
para os quais
é real. Isso acontece quando a parte imaginária
é igual a zero.
Observando a expressão de
:
Para que
, o numerador deve ser zero:
Isso acontece quando:
Resolvendo:
-
implica , onde é inteiro. -
implica , onde é inteiro.
Vamos analisar cada caso:
- Caso 1:
Substituindo em
, temos:
Portanto, para qualquer
,
é real quando
.
- Caso 2:
Substituindo em
, temos:
Sabemos que
, então:
Portanto, também para qualquer
,
é real quando
.
Resposta
A função
é real nos pontos onde
, com
ou
, onde
é um número inteiro. Ou seja,
é real quando:
Exercícios relacionados
Determine
.
Calcule
.
Se
são números tais que
e
para
, então
. Aqui,
é o ramo principal do logaritmo.
Derive a função
.