Calcule o expoente adiabático gamma para um gás triatômico ( O3 - Ozônio) (com 03 graus de liberdade de translação e 03 graus de liberdade de rotação) a uma temperatura elevada tal que uma fração Q das moléculas encontram-se dissociadas em 3 átomos. Através do resultado, determine gamma para. caso em que dotQ=y /(x+y).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o expoente adiabático gamma para o gás triatômico O3 (ozônio). Esse gás tem 3 graus de liberdade de translação e 3 de rotação. Além disso, a temperatura está tão alta que uma fração Q das moléculas de ozônio se dissocia em 3 átomos. Depois, vamos usar esse resultado para determinar gamma no caso em que dotQ = yx+y. Para resolver isso, vamos precisar entender como os graus de liberdade e a dissociação afetam o expoente adiabático.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o expoente adiabático gamma. Ele é definido como a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante Cp e a capacidade calorífica a volume constante Cv:
gamma = CpCv
Esse expoente é importante porque determina como a pressão e o volume de um gás se relacionam durante um processo adiabático (sem troca de calor).

Passo 3

Para gases ideais monoatômicos, triatômicos, etc., a capacidade calorífica pode ser calculada usando os graus de liberdade. A fórmula geral para Cv é:
Cv = f2 R
Onde:
  • f é o número de graus de liberdade,
  • R é a constante universal dos gases.
Para O3, que é triatômico e tem 3 graus de liberdade de translação e 3 de rotação, totalizando f = 6.
Então,
Cv = 62 R = 3R
E,
Cp = Cv + R = 3R + R = 4R
Portanto, para O3 sem considerar a dissociação,
gamma = 4R3R = 43 approx 1,33

Passo 4

Agora, vamos considerar a alta temperatura que causa a dissociação de uma fração Q das moléculas de O3 em 3 átomos de oxigênio ( O). A dissociação consome energia, o que afeta a capacidade calorífica do gás. Quando uma molécula se dissocia, parte da energia fornecida é usada para quebrar as ligações químicas, além de aumentar a energia interna do sistema.

Passo 5

A energia envolvida na dissociação pode ser representada pelo calor de dissociação De. A quantidade de energia necessária para dissociar uma fração Q das moléculas é:
Qd = Q cdot De
Isso adiciona à capacidade calorífica do gás, aumentando efetivamente Cp e Cv.

Passo 6

Considerando a dissociação, a nova capacidade calorífica a volume constante Cv' será:
Cv' = Cv + Q cdot De
E a capacidade calorífica a pressão constante Cp' será:
Cp' = Cp + Q cdot De
Onde T é a temperatura.

Passo 7

Com as novas capacidades caloríficas, o novo expoente adiabático gamma' será:
gamma' = Cp'Cv' = Cp + Q cdot De
Isso mostra que a dissociação reduz o valor de gamma, já que parte da energia vai para a quebra das moléculas e não para aumentar a temperatura do gás.

Passo 8

Agora, a questão pede para determinar gamma no caso em que dotQ = yx+y. Aqui, dotQ representa a fração dissociada Q. Então, substituindo Q por yx+y na fórmula anterior:
gamma' = Cp + yx+y cdot De

Resposta

O expoente adiabático gamma para o gás triatômico O3 com uma fração dotQ = yx+y de suas moléculas dissociadas é dado por:
gamma' = Cp + yx+y cdot De

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