Calcule o expoente adiabático
para um gás triatômico (
- Ozônio) (com 03 graus de liberdade de translação e 03 graus de liberdade de rotação) a uma temperatura elevada tal que uma fração
das moléculas encontram-se dissociadas em 3 átomos. Através do resultado, determine
para. caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o expoente adiabático
para o gás triatômico
(ozônio). Esse gás tem 3 graus de liberdade de translação e 3 de rotação. Além disso, a temperatura está tão alta que uma fração
das moléculas de ozônio se dissocia em 3 átomos. Depois, vamos usar esse resultado para determinar
no caso em que
. Para resolver isso, vamos precisar entender como os graus de liberdade e a dissociação afetam o expoente adiabático.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o expoente adiabático
. Ele é definido como a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante
e a capacidade calorífica a volume constante
:
Esse expoente é importante porque determina como a pressão e o volume de um gás se relacionam durante um processo adiabático (sem troca de calor).
Passo 3
Para gases ideais monoatômicos, triatômicos, etc., a capacidade calorífica pode ser calculada usando os graus de liberdade. A fórmula geral para
é:
Onde:
-
é o número de graus de liberdade, -
é a constante universal dos gases.
Para
, que é triatômico e tem 3 graus de liberdade de translação e 3 de rotação, totalizando
.
Então,
E,
Portanto, para
sem considerar a dissociação,
Passo 4
Agora, vamos considerar a alta temperatura que causa a dissociação de uma fração
das moléculas de
em 3 átomos de oxigênio (
). A dissociação consome energia, o que afeta a capacidade calorífica do gás. Quando uma molécula se dissocia, parte da energia fornecida é usada para quebrar as ligações químicas, além de aumentar a energia interna do sistema.
Passo 5
A energia envolvida na dissociação pode ser representada pelo calor de dissociação
. A quantidade de energia necessária para dissociar uma fração
das moléculas é:
Isso adiciona à capacidade calorífica do gás, aumentando efetivamente
e
.
Passo 6
Considerando a dissociação, a nova capacidade calorífica a volume constante
será:
E a capacidade calorífica a pressão constante
será:
Onde
é a temperatura.
Passo 7
Com as novas capacidades caloríficas, o novo expoente adiabático
será:
Isso mostra que a dissociação reduz o valor de
, já que parte da energia vai para a quebra das moléculas e não para aumentar a temperatura do gás.
Passo 8
Agora, a questão pede para determinar
no caso em que
. Aqui,
representa a fração dissociada
. Então, substituindo
por
na fórmula anterior:
Resposta
O expoente adiabático
para o gás triatômico
com uma fração
de suas moléculas dissociadas é dado por: