Calcule o expoente adiabático para um gás triatômico ( - Ozônio) (com 03 graus de liberdade de translação e 03 graus de liberdade de rotação) a uma temperatura elevada tal que uma fração das moléculas encontram-se dissociadas em 3 átomos. Através do resultado, determine para. caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o expoente adiabático para o gás triatômico (ozônio). Esse gás tem 3 graus de liberdade de translação e 3 de rotação. Além disso, a temperatura está tão alta que uma fração das moléculas de ozônio se dissocia em 3 átomos. Depois, vamos usar esse resultado para determinar no caso em que . Para resolver isso, vamos precisar entender como os graus de liberdade e a dissociação afetam o expoente adiabático.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o expoente adiabático . Ele é definido como a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante e a capacidade calorífica a volume constante :
Esse expoente é importante porque determina como a pressão e o volume de um gás se relacionam durante um processo adiabático (sem troca de calor).

Passo 3

Para gases ideais monoatômicos, triatômicos, etc., a capacidade calorífica pode ser calculada usando os graus de liberdade. A fórmula geral para é:
Onde:
  • é o número de graus de liberdade,
  • é a constante universal dos gases.
Para , que é triatômico e tem 3 graus de liberdade de translação e 3 de rotação, totalizando .
Então,
E,
Portanto, para sem considerar a dissociação,

Passo 4

Agora, vamos considerar a alta temperatura que causa a dissociação de uma fração das moléculas de em 3 átomos de oxigênio ( ). A dissociação consome energia, o que afeta a capacidade calorífica do gás. Quando uma molécula se dissocia, parte da energia fornecida é usada para quebrar as ligações químicas, além de aumentar a energia interna do sistema.

Passo 5

A energia envolvida na dissociação pode ser representada pelo calor de dissociação . A quantidade de energia necessária para dissociar uma fração das moléculas é:
Isso adiciona à capacidade calorífica do gás, aumentando efetivamente e .

Passo 6

Considerando a dissociação, a nova capacidade calorífica a volume constante será:
E a capacidade calorífica a pressão constante será:
Onde é a temperatura.

Passo 7

Com as novas capacidades caloríficas, o novo expoente adiabático será:
Isso mostra que a dissociação reduz o valor de , já que parte da energia vai para a quebra das moléculas e não para aumentar a temperatura do gás.

Passo 8

Agora, a questão pede para determinar no caso em que . Aqui, representa a fração dissociada . Então, substituindo por na fórmula anterior:

Resposta

O expoente adiabático para o gás triatômico com uma fração de suas moléculas dissociadas é dado por:

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