Calcule uma expressão, em integrais, que represente o volume do sólido que tem para base a região do plano limitada pela parábola
e a reta
e cujas seções transversais ao eixo
são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tais que as hipotenusas têm extremidades no contorno da base desse sólido e são perpendiculares ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido cuja base é a região no plano delimitada pela parábola
e pela reta
. Além disso, as seções transversais desse sólido, quando cortamos perpendicularmente ao eixo
, são triângulos retângulos isósceles. Precisamos montar uma expressão em integrais para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo de integrais e geometria dos triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a parábola e a reta se interceptam. Isso nos dará os limites de integração. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 3
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Isso significa que os limites de integração vão de
até
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a distância entre a reta e a parábola para um valor qualquer de
. Essa distância será o comprimento da hipotenusa do nosso triângulo retângulo isósceles. A hipotenusa é dada por:
Passo 5
Como os triângulos são retângulos isósceles, os dois catetos são iguais e cada um é a hipotenusa dividida pela raiz de 2. Então, o comprimento de cada cateto é:
Passo 6
A área de um triângulo retângulo é dada por:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o volume do sólido, integramos a área dos triângulos ao longo do intervalo de
a
:
Resposta
A expressão que representa o volume do sólido é: