Calcule uma expressão, em integrais, que represente o volume do sólido que tem para base a região do plano limitada pela parábola P: x = y^2 - 1 e a reta r: x = y + 1 e cujas seções transversais ao eixo O y são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tais que as hipotenusas têm extremidades no contorno da base desse sólido e são perpendiculares ao eixo O y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido cuja base é a região no plano delimitada pela parábola e pela reta . Além disso, as seções transversais desse sólido, quando cortamos perpendicularmente ao eixo , são triângulos retângulos isósceles. Precisamos montar uma expressão em integrais para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo de integrais e geometria dos triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a parábola e a reta se interceptam. Isso nos dará os limites de integração. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Isso significa que os limites de integração vão de até .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a distância entre a reta e a parábola para um valor qualquer de . Essa distância será o comprimento da hipotenusa do nosso triângulo retângulo isósceles. A hipotenusa é dada por:

Passo 5

Como os triângulos são retângulos isósceles, os dois catetos são iguais e cada um é a hipotenusa dividida pela raiz de 2. Então, o comprimento de cada cateto é:

Passo 6

A área de um triângulo retângulo é dada por:
Á

Passo 7

Finalmente, para encontrar o volume do sólido, integramos a área dos triângulos ao longo do intervalo de a :

Resposta

A expressão que representa o volume do sólido é:

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