\iint_{R}\left(1-x{2}-y{2}\right) d x d y ; R=\left{x \geq 0, y \geq 0, x=0, y=x, x{2}+y{2}=1\right}
$$
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no
octante pelo plano
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um tetraedro no primeiro octante, ou seja, onde as coordenadas
,
e
são todas positivas. Esse tetraedro é delimitado pelo plano
.
Conteúdo da matéria: Vamos usar integrais duplas para encontrar o volume. Precisamos entender como transformar a equação do plano para expressar
em função de
e
e depois identificar os limites de integração para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para isolar
. A equação dada é:
Vamos resolver para
:
Agora temos
em termos de
e
:
Passo 3
Agora, precisamos identificar a região
no plano
sobre a qual vamos integrar. Como estamos no primeiro octante, temos
e
. Além disso, o plano intercepta os eixos
e
quando
:
Para
:
Então, a linha
é a fronteira da região
no primeiro quadrante.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
e
. Observando a equação
, vemos que quando
,
, e quando
,
. Portanto,
varia de 0 a 2, e para cada
,
varia de 0 a
.
Então, os limites são:
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume
:
Substituindo os limites de integração:
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Expanda a expressão dentro da integral:
Então,
Resposta
O volume do tetraedro é igual a 1 unidade cúbica.
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pelas curvas de equações e
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em torno do:
(11.2) Eixo menor.
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