\iint_{R}\left(1-x{2}-y{2}\right) d x d y ; R=\left{x \geq 0, y \geq 0, x=0, y=x, x{2}+y{2}=1\right}
$$
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no octante pelo plano

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um tetraedro no primeiro octante, ou seja, onde as coordenadas , e são todas positivas. Esse tetraedro é delimitado pelo plano .
Conteúdo da matéria: Vamos usar integrais duplas para encontrar o volume. Precisamos entender como transformar a equação do plano para expressar em função de e e depois identificar os limites de integração para e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para isolar . A equação dada é:
Vamos resolver para :
Agora temos em termos de e :

Passo 3

Agora, precisamos identificar a região no plano sobre a qual vamos integrar. Como estamos no primeiro octante, temos e . Além disso, o plano intercepta os eixos e quando :
Para :
Então, a linha é a fronteira da região no primeiro quadrante.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para e . Observando a equação , vemos que quando , , e quando , . Portanto, varia de 0 a 2, e para cada , varia de 0 a .
Então, os limites são:

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume :
Substituindo os limites de integração:
Vamos primeiro integrar em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Expanda a expressão dentro da integral:
Então,

Resposta

O volume do tetraedro é igual a 1 unidade cúbica.

Exercícios relacionados

Determine a área limitada:
pelas curvas de equações e
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.2) Eixo menor.