Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.4) e , ao redor da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a região entre as curvas e é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por método dos anéis (discos ou arruelas). Mas primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se encontram para saber o intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, isolamos a raiz:
Agora, elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Rearranjando todos os termos para um lado:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se encontram em e .
Passo 6
Agora que sabemos que a região de interesse está entre e , vamos configurar o cálculo do volume usando o método dos anéis. A fórmula geral para o volume por esse método é:
Onde:
é a distância do eixo de rotação (neste caso, ) até a função de maior valor.
é a distância do eixo de rotação até a função de menor valor.
Passo 7
Primeiro, identificamos qual das funções está acima da outra no intervalo . Vamos calcular alguns valores:
Para :
Então, .
Para :
Ainda, .
Portanto, está acima de no intervalo considerado.
Passo 8
Agora, determinamos e :
Como estamos girando em torno de :
Mas precisamos considerar a rotação vertical, então usaremos as funções de para determinar as alturas.
Na verdade, para rotação em torno de uma reta vertical, o método dos cilindros (shells) é mais adequado. Vamos ajustar nossa abordagem.
Passo 9
Usando o método dos shells, a fórmula para o volume é:
Aqui:
A distância é a distância horizontal de cada até a reta , que é .
A altura é a diferença entre as duas funções .
Passo 10
Então, nossa integral fica:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 11
Agora, substituímos e calculamos a integral:
Isso pode ser expandido e integrado termo a termo: