Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.4) e , ao redor da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a região entre as curvas e é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por método dos anéis (discos ou arruelas). Mas primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se encontram para saber o intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, isolamos a raiz:
Agora, elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Rearranjando todos os termos para um lado:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se encontram em e .

Passo 6

Agora que sabemos que a região de interesse está entre e , vamos configurar o cálculo do volume usando o método dos anéis. A fórmula geral para o volume por esse método é:
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação (neste caso, ) até a função de maior valor.
  • é a distância do eixo de rotação até a função de menor valor.

Passo 7

Primeiro, identificamos qual das funções está acima da outra no intervalo . Vamos calcular alguns valores:
Para :
Então, .
Para :
Ainda, .
Portanto, está acima de no intervalo considerado.

Passo 8

Agora, determinamos e :
Como estamos girando em torno de :
âçãâçã
Mas precisamos considerar a rotação vertical, então usaremos as funções de para determinar as alturas.
Na verdade, para rotação em torno de uma reta vertical, o método dos cilindros (shells) é mais adequado. Vamos ajustar nossa abordagem.

Passo 9

Usando o método dos shells, a fórmula para o volume é:
â
Aqui:
  • A distância é a distância horizontal de cada até a reta , que é .
  • A altura é a diferença entre as duas funções .

Passo 10

Então, nossa integral fica:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 11

Agora, substituímos e calculamos a integral:
Isso pode ser expandido e integrado termo a termo:
Simplificando:
Continuando a simplificação:

Passo 12

Integrando termo a termo:
Calculamos cada integral:
  1. -> usar substituição , então : Substituindo :

Passo 13

Substituindo os limites de integração de 1 a 5:
Calculando cada termo:
  1. Para de 1 a 5:
  2. Para de 1 a 5:
  3. Para de 1 a 5:
  4. Para de 1 a 5:
  5. Para de 1 a 5:

Passo 14

Substituindo de volta:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum 15:
Então:

Passo 15

Finalmente, multiplicamos por :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.2) Eixo menor.
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Esboce e calcule a sua área.
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
18.