Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.2) Eixo menor.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma elipse dada pela equação e precisamos calcular o volume do sólido formado ao girarmos essa região em torno do eixo menor da elipse.
Matéria envolvida: Cálculo de volumes de sólidos de revolução.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre elipses, identificação dos eixos maior e menor, e a fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução usando o método de discos.

Passo 2

Vamos começar identificando os parâmetros da elipse. A equação da elipse pode ser reescrita na forma padrão dividindo ambos os lados por 9:
Aqui, vemos que o semi-eixo maior (no eixo y) e o semi-eixo menor (no eixo x).

Passo 3

O eixo menor da elipse é o eixo x. Então, vamos girar a elipse em torno do eixo x para formar o sólido de revolução.

Passo 4

Para calcular o volume desse sólido, usaremos o método dos discos. A fórmula para o volume é dada por:
Nesse caso, precisamos expressar em função de para usar a fórmula corretamente.

Passo 5

Rearranjando a equação da elipse para resolver em função de :

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Avaliado de -3 a 3:

Passo 8

Substituindo o resultado na fórmula do volume:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da elipse em torno do eixo menor é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

\iint_{R}\left(1-x{2}-y{2}\right) d x d y ; R=\left{x \geq 0, y \geq 0, x=0, y=x, x{2}+y{2}=1\right}
$$
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no octante pelo plano
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.4) e , ao redor da reta
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Esboce e calcule a sua área.