Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse
em torno do:
(11.2) Eixo menor.
(11.2) Eixo menor.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma elipse dada pela equação
e precisamos calcular o volume do sólido formado ao girarmos essa região em torno do eixo menor da elipse.
Matéria envolvida: Cálculo de volumes de sólidos de revolução.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre elipses, identificação dos eixos maior e menor, e a fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução usando o método de discos.
Passo 2
Vamos começar identificando os parâmetros da elipse. A equação da elipse pode ser reescrita na forma padrão dividindo ambos os lados por 9:
Aqui, vemos que o semi-eixo maior
(no eixo y) e o semi-eixo menor
(no eixo x).
Passo 3
O eixo menor da elipse é o eixo x. Então, vamos girar a elipse em torno do eixo x para formar o sólido de revolução.
Passo 4
Para calcular o volume desse sólido, usaremos o método dos discos. A fórmula para o volume
é dada por:
Nesse caso, precisamos expressar
em função de
para usar a fórmula corretamente.
Passo 5
Rearranjando a equação da elipse para resolver
em função de
:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Avaliado de -3 a 3:
Passo 8
Substituindo o resultado na fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da elipse em torno do eixo menor é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
\iint_{R}\left(1-x{2}-y{2}\right) d x d y ; R=\left{x \geq 0, y \geq 0, x=0, y=x, x{2}+y{2}=1\right}
$$
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no octante pelo plano
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.4) e
, ao redor da reta
(12.4)
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Esboce e calcule a sua área.
Esboce