Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
b)
no ponto de ordenada 1 ;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada
da equação
no ponto onde
. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, ao derivar termos que envolvem
, a gente precisa multiplicar pela
por causa da regra da cadeia. Então, derivando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia:. -
Derivada de
:
Aqui aplicamos a regra do produto:. -
Derivada de
:
Comoé uma constante, sua derivada é zero: .
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação original:
Passo 5
Vamos reunir os termos que têm
de um lado:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Queremos encontrar
no ponto onde
. Primeiro, vamos achar o valor de
nesse ponto substituindo
na equação original:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão da derivada:
Resposta
A derivada
no ponto onde
é
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
Dado o ponto
e
, calcule:
Determine para cada função o maior subconjunto de
onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente:
Use a informação de que
para calcular os limites abaixo:
©
Dica: no item ©, multiplique o numerador e o denominador por
.
©
Dica: no item ©, multiplique o numerador e o denominador por