Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
b) e^y + x * y = e : d(y)/d(x) no ponto de ordenada 1 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da equação no ponto onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar termos que envolvem , a gente precisa multiplicar pela por causa da regra da cadeia. Então, derivando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia: .
  2. Derivada de :
    Aqui aplicamos a regra do produto: .
  3. Derivada de :
    Como é uma constante, sua derivada é zero: .

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação original:

Passo 5

Vamos reunir os termos que têm de um lado:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Queremos encontrar no ponto onde . Primeiro, vamos achar o valor de nesse ponto substituindo na equação original:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão da derivada:

Resposta

A derivada no ponto onde é .

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