Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação parcial duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que vamos derivar
considerando
como uma constante.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é (já que é constante). - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para encontrar a segunda derivada parcial
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (já que é constante).
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
em relação a
para encontrar a derivada mista
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 6
Finalmente, vamos derivar
em relação a
para encontrar a segunda derivada parcial
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (já que é constante).
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: