Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: z = x^2 * y^2 - x * y
R: 2y^2; 4xy - 1; 4xy - 1; 2x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação parcial duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos derivar considerando como uma constante.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar a segunda derivada parcial .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar em relação a para encontrar a derivada mista .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 6

Finalmente, vamos derivar em relação a para encontrar a segunda derivada parcial .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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