Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: z = x^2 * y^2 - x * y
R: 2y^2; 4xy - 1; 4xy - 1; 2x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação parcial duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos derivar considerando como uma constante.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar a segunda derivada parcial .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar em relação a para encontrar a derivada mista .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 6

Finalmente, vamos derivar em relação a para encontrar a segunda derivada parcial .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

Dado o ponto P(-1,4) e f(x, y)=raizx^2+y^2, calcule: partial f(P)partial x
R: partial f(-1,4)partial x=-raiz1717
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
f) f(x) = sen^3(x);
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
b) e^y + x * y = e : d(y)/d(x) no ponto de ordenada 1 ;
Determine para cada função o maior subconjunto de R^3 onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente: f(x, y, z) = (4 * x * y * z) / raiz(9 - x^2 - y^2 - z^2)
R: D = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 < 9}