Verifique se:
(22.2) {x = arcsen(t), y = raiz(1 - t^2), t in [-1, 1]}, satisfaz a equação sen x * d^2y/dx^2 + y * dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! No enunciado, a gente tem duas equações parametrizadas:
E a gente precisa verificar se essas funções satisfazem a seguinte equação diferencial:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e relacionamento entre funções parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar tudo em termos de em vez de . Sabemos que , então podemos inverter isso para obter .
Agora, substituindo na expressão de :
Então, agora temos em termos de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é :
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos achar a segunda derivada de em relação a , que é :
Então:

Passo 5

Agora que temos , e , vamos substituir esses valores na equação diferencial para verificar se ela é satisfeita:
Simplificando:

Passo 6

Queremos que a expressão acima seja igual a zero para que a equação diferencial seja satisfeita:
Isso acontece quando:
Isso ocorre para valores de onde ou . No intervalo , isso corresponde a .

Resposta

A parametrização dada satisfaz a equação diferencial somente nos valores e . Portanto, a equação não é satisfeita para todo , apenas nesses pontos específicos.

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