Verifique se:
(22.2)
, satisfaz a equação
(22.2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! No enunciado, a gente tem duas equações parametrizadas:
E a gente precisa verificar se essas funções satisfazem a seguinte equação diferencial:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e relacionamento entre funções parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar tudo em termos de
em vez de
. Sabemos que
, então podemos inverter isso para obter
.
Agora, substituindo
na expressão de
:
Então, agora temos
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, que é
:
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos achar a segunda derivada de
em relação a
, que é
:
Então:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, vamos substituir esses valores na equação diferencial para verificar se ela é satisfeita:
Simplificando:
Passo 6
Queremos que a expressão acima seja igual a zero para que a equação diferencial seja satisfeita:
Isso acontece quando:
Isso ocorre para valores de
onde
ou
. No intervalo
, isso corresponde a
.
Resposta
A parametrização dada satisfaz a equação diferencial somente nos valores
e
. Portanto, a equação não é satisfeita para todo
, apenas nesses pontos específicos.