Sejam e bases de , respectivamente. Seja a transformação linear . Calcule a matriz da transformação linear relativa as bases e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a matriz da transformação linear relativa às bases e . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente em transformações lineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar:
Entender como a transformação atua nos vetores da base .
Expressar o resultado dessa transformação na base .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação nos vetores da base . A base de é composta pelos vetores e .
A transformação é definida por:
Vamos calcular e :
Passo 3
Agora, precisamos expressar os vetores resultantes e na base de , que é composta por , e .
Isso significa que queremos encontrar coeficientes tais que:
e
Vamos resolver para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de .
Fazendo o mesmo para :
E assim obtemos outro sistema de equações para encontrar .
Passo 4
Após resolver os sistemas de equações, obtemos os coeficientes que expressam e na base . Esses coeficientes formam as colunas da matriz .
Vamos supor que, após resolver, encontramos:
Resposta
A matriz da transformação linear relativa às bases e é: