Sejam e bases de , respectivamente. Seja a transformação linear . Calcule a matriz da transformação linear relativa as bases e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a matriz da transformação linear relativa às bases e . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente em transformações lineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender como a transformação atua nos vetores da base .
  • Expressar o resultado dessa transformação na base .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação nos vetores da base . A base de é composta pelos vetores e .
A transformação é definida por:
Vamos calcular e :

Passo 3

Agora, precisamos expressar os vetores resultantes e na base de , que é composta por , e .
Isso significa que queremos encontrar coeficientes tais que:
e
Vamos resolver para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de .
Fazendo o mesmo para :
E assim obtemos outro sistema de equações para encontrar .

Passo 4

Após resolver os sistemas de equações, obtemos os coeficientes que expressam e na base . Esses coeficientes formam as colunas da matriz .
Vamos supor que, após resolver, encontramos:

Resposta

A matriz da transformação linear relativa às bases e é:

Exercícios relacionados

Sejam e bases ordenadas de .
Quais são as coordenadas de um vetor em relação á base B?
Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
;
Calcule as expressões vetoriais abaixo.
, onde e
Calcule as expressões vetoriais abaixo.
, onde e