Sejam B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e B1=(1,0, 12),(0,1,-12),(0,0,1) bases ordenadas de R^3.
Quais são as coordenadas de um vetor [v]B1=[l3 1 0] em relação á base B?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases ordenadas de 3 1 0:
  • é a base padrão.
  • é outra base.
Queremos encontrar as coordenadas de um vetor que, na base , é representado por , mas expressas na base . Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor v = 3 cdot (1, 0, 12) + 1 cdot (0, 1, -12) + 0 cdot (0, 0, 1) em termos da base . Sabemos que:
Vamos calcular essa combinação linear.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do vetor 3 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = 3 :
  • Componente x:
    3 cdot 0 + 1 cdot 1 + 0 cdot 0 = 1
  • Componente y:
    3 cdot 12 + 1 cdot (-12) + 0 cdot 1 = 32 - 12 = 1
  • Componente z:

Passo 4

Assim, o vetor v = (3, 1, 1) em termos da base padrão é:
Portanto, as coordenadas de na base são:

Resposta

[v]B = 3 1 1

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