Calcule:
f)
,
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem funções logarítmicas. Vamos precisar entender como manipular logaritmos e aplicar a técnica de substituição para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que o logaritmo na base 10 pode ser escrito em termos de logaritmo natural (ln) usando a relação:
Isso nos ajuda a trabalhar com uma base de logaritmo mais familiar no cálculo.
Passo 3
Substituindo
na integral, temos:
Agora, a integral fica mais simples, mas ainda requer uma técnica de substituição para ser resolvida.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral, temos:
Observe que os termos
se cancelam, simplificando a integral.
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Onde
é a constante de integração. Lembrando que
, substituímos de volta: