Calcule: f) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem funções logarítmicas. Vamos precisar entender como manipular logaritmos e aplicar a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que o logaritmo na base 10 pode ser escrito em termos de logaritmo natural (ln) usando a relação: Isso nos ajuda a trabalhar com uma base de logaritmo mais familiar no cálculo.

Passo 3

Substituindo na integral, temos: Agora, a integral fica mais simples, mas ainda requer uma técnica de substituição para ser resolvida.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja: Então, a derivada de em relação a é: Substituindo na integral, temos: Observe que os termos se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples: Onde é a constante de integração. Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

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