Calcule:
f) integral 1x log 10 x d x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem funções logarítmicas. Vamos precisar entender como manipular logaritmos e aplicar a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão log10 x = ln xln 10 . Sabemos que o logaritmo na base 10 pode ser escrito em termos de logaritmo natural (ln) usando a relação:
Isso nos ajuda a trabalhar com uma base de logaritmo mais familiar no cálculo.

Passo 3

Substituindo integral 1x cdot ln xln 10 , dx = integral ln 10x ln x , dx na integral, temos:
Agora, a integral fica mais simples, mas ainda requer uma técnica de substituição para ser resolvida.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja:
u = ln x
Então, a derivada de dudx = 1x Rightarrow dx = x , du em relação a integral ln 10x cdot u cdot x , du = ln 10 integral 1u , du é:
Substituindo na integral, temos:
Observe que os termos se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
ln 10 integral 1u , du = ln 10 cdot ln |u| + C
Onde é a constante de integração. Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

ln(log10 x)ln 10 + C

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