Sejam
e
. Encontre
tal que:
O ângulo entre
e
seja
O ângulo entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores no plano:
e
. A questão pede para encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre esses dois vetores seja
(60 graus). Para resolver isso, vamos usar a fórmula do ângulo entre vetores, que envolve produto escalar e normas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto escalar e as normas deles:
Onde:
-
é o ângulo entre os vetores, -
é o produto escalar, -
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
Para
:
Para
:
Passo 5
Sabemos que o ângulo
é
, então
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando
:
Passo 7
Agora, vamos isolar a raiz quadrada:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Calculando o lado direito:
Simplificando:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por 34 para eliminar a fração:
Calculando o lado esquerdo:
Passo 10
Levando todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 11
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 12
Calculando o discriminante:
Passo 13
Calculando as raízes:
Simplificando a raiz quadrada:
Então:
Passo 14
Calculando as duas possibilidades:
Resposta
Valor de
que satisfaz a condição é aproximadamente
ou
.
Exercícios relacionados
Qual o valor de
para que a região sob o gráfico de
, entre
e
tenha área igual a 5 u.a.?
Verifique se os pontos
e
são colineares.
Nos exercícios 23-34, encontre
e
Calcule:
f) ,
f)