Sejam u = <2, alpha> e v = <3, 5>. Encontre alpha tal que:
O ângulo entre u e v seja pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores no plano: e . A questão pede para encontrar o valor de alpha de forma que o ângulo entre esses dois vetores seja (60 graus). Para resolver isso, vamos usar a fórmula do ângulo entre vetores, que envolve produto escalar e normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto escalar e as normas deles:
Onde:
  • theta é o ângulo entre os vetores,
  • u . v é o produto escalar,
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u . v:

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
Para u:
Para v:

Passo 5

Sabemos que o ângulo theta é , então . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por :
Simplificando :

Passo 7

Agora, vamos isolar a raiz quadrada:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 8

Calculando o lado direito:
Simplificando:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por 34 para eliminar a fração:
Calculando o lado esquerdo:

Passo 10

Levando todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Multiplicando por -1 para facilitar:

Passo 11

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .

Passo 12

Calculando o discriminante:

Passo 13

Calculando as raízes:
Simplificando a raiz quadrada:
Então:

Passo 14

Calculando as duas possibilidades:

Resposta

Valor de alpha que satisfaz a condição é aproximadamente ou .

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