Encontre dois vetores e w, não nulos, em que sejam ortogonais entre si e ortogonais ao vetor .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar dois vetores, chamados e , que não sejam o vetor zero, no espaço tridimensional . Esses vetores devem ser ortogonais entre si (ou seja, perpendiculares) e também ortogonais ao vetor dado . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero. O produto escalar de e é dado por:
Além disso, para que ambos os vetores sejam ortogonais a , devemos ter:
Essas equações nos dão restrições que os componentes dos vetores e devem satisfazer.

Passo 3

Vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a . Podemos escolher, por exemplo, fixar dois componentes e resolver para o terceiro. Seja . Verificando:
Portanto, é ortogonal a .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Utilizamos o produto vetorial, que garante que o resultado seja ortogonal aos vetores de entrada. Calculamos:
Vamos verificar a ortogonalidade:
Portanto, é ortogonal tanto a quanto a .

Resposta

Dois vetores que satisfazem as condições são e .

Exercícios relacionados

Calcule:
f) ,
Nos exercícios 23-34, encontre e
Seja . Encontre um ponto tal que o vetor tenha mesma direção, mesmo sentido e o dobro do módulo do vetor , ou seja, tal que .
Calcule os limites, ou justifique caso não existam: