Encontre dois vetores e w, não nulos, em que sejam ortogonais entre si e ortogonais ao vetor .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar dois vetores, chamados e , que não sejam o vetor zero, no espaço tridimensional . Esses vetores devem ser ortogonais entre si (ou seja, perpendiculares) e também ortogonais ao vetor dado . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de ortogonalidade e produto escalar.
Passo 2
Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero. O produto escalar de e é dado por:
Além disso, para que ambos os vetores sejam ortogonais a , devemos ter:
Essas equações nos dão restrições que os componentes dos vetores e devem satisfazer.
Passo 3
Vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a . Podemos escolher, por exemplo, fixar dois componentes e resolver para o terceiro. Seja . Verificando:
Portanto, é ortogonal a .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Utilizamos o produto vetorial, que garante que o resultado seja ortogonal aos vetores de entrada. Calculamos: