Encontre dois vetores v e w, não nulos, em R^3 que sejam ortogonais entre si e ortogonais ao vetor u = <1, 1, 1>.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar dois vetores, chamados v e w, que não sejam o vetor zero, no espaço tridimensional R^3. Esses vetores devem ser ortogonais entre si (ou seja, perpendiculares) e também ortogonais ao vetor dado . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero. O produto escalar de e é dado por:
Além disso, para que ambos os vetores sejam ortogonais a , devemos ter:
Essas equações nos dão restrições que os componentes dos vetores v e w devem satisfazer.

Passo 3

Vamos encontrar um vetor v que seja ortogonal a u. Podemos escolher, por exemplo, fixar dois componentes e resolver para o terceiro. Seja . Verificando:
Portanto, v é ortogonal a u.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor w que seja ortogonal tanto a u quanto a v. Utilizamos o produto vetorial, que garante que o resultado seja ortogonal aos vetores de entrada. Calculamos:
Vamos verificar a ortogonalidade:
Portanto, w é ortogonal tanto a u quanto a v.

Resposta

Dois vetores que satisfazem as condições são e .

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