Fixado
, sejam
a bola de raio
e centro na origem do espaço 4-dimensional e
a bola análoga no espaço tridimensional.
(b) Utilizando coordenadas esféricas, conclua que o volume de
é igual a
Sugestão: No item (a), observe que a parte superior da fronteira de
é o gráfico da função
, dada por
.
(b) Utilizando coordenadas esféricas, conclua que o volume de
Sugestão: No item (a), observe que a parte superior da fronteira de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular o volume de uma bola em um espaço de 4 dimensões usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas em 4D e como integrá-las para encontrar o volume. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula para o volume de uma bola em 4 dimensões. Em geral, o volume
de uma bola de raio
no espaço
-dimensional é dado por:
Onde
é a função gama, que generaliza o fatorial.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos entender por que essa fórmula funciona usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas 4D, temos quatro coordenadas:
(raio),
,
, e
(ângulos). O elemento de volume em 4D é dado por:
Para encontrar o volume total, integramos esse elemento sobre todos os valores possíveis de
e dos ângulos.
Passo 5
Integrando sobre
de 0 a
:
Integrando sobre os ângulos:
Multiplicando tudo:
Resposta
O volume de
é igual a
.