Fixado r > 0, sejam B4 = {(x, y, z, t) em R^4 ; x^2 + y^2 + z^2 + t^2 <= r^2} a bola de raio r e centro na origem do espaço 4-dimensional e B3 = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 <= r^2 a bola análoga no espaço tridimensional.
(b) Utilizando coordenadas esféricas, conclua que o volume de B4 é igual a 1/2 * pi^2 * r^4
Sugestão: No item (a), observe que a parte superior da fronteira de B4 é o gráfico da função t: B_3 -> R, dada por t(x, y, z) = raiz(r^2 - (x^2 + y^2 + z^2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular o volume de uma bola em um espaço de 4 dimensões usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas em 4D e como integrá-las para encontrar o volume. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula para o volume de uma bola em 4 dimensões. Em geral, o volume de uma bola de raio no espaço -dimensional é dado por:
Onde é a função gama, que generaliza o fatorial.

Passo 3

No nosso caso, . Então, substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos entender por que essa fórmula funciona usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas 4D, temos quatro coordenadas: (raio), , , e (ângulos). O elemento de volume em 4D é dado por:
Para encontrar o volume total, integramos esse elemento sobre todos os valores possíveis de e dos ângulos.

Passo 5

Integrando sobre de 0 a :
Integrando sobre os ângulos:
Multiplicando tudo:

Resposta

O volume de é igual a .

Exercícios relacionados