Calcule: f) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções. Precisamos identificar quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos . A razão é que derivar é simples, ficando .

Passo 3

Em seguida, definimos . Agora, vamos integrar para encontrar . A integral de é , então .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , e , temos:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, avaliamos a função resultante nos limites de a :
Calculando para e :
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é:

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Use completamento de quadrados para obter a forma canônica de ,em seguida, use-a para resolver a equação .
Seja uma função bijetora, então se , quanto vale ?
Sejam e . Sem calcular ou , mostre que .