Calcule: f) integralpi / 6^pi / 4 x cdot sec ^2 x d x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções. Precisamos identificar quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos . A razão é que derivar é simples, ficando .

Passo 3

Em seguida, definimos . Agora, vamos integrar para encontrar . A integral de é , então .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo integral x cdot sec^2 x , dx = x cdot tan x - integral tan x cdot 1 , dx , , e , temos:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
x cdot tan x - integral tan x , dx
Sabemos que x cdot tan x + ln |cos x| , então:

Passo 6

Agora, avaliamos a função resultante nos limites de [ x cdot tan x + ln |cos x| ]pi/6^pi/4 a pi4 cdot tan(pi4) + ln |cos(pi4)| = pi4 cdot 1 + ln(raiz22) :
pi6 cdot tan(pi6) + ln |cos(pi6)| = pi6 cdot raiz33 + ln(raiz32)
Calculando para e :
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
(pi4 + ln(raiz22)) - (pi raiz318 + ln(raiz32))
Simplificando:
pi4 - pi raiz318 + ln(raiz22) - ln(raiz32)

Resposta

O valor da integral é:
pi4 - pi raiz318 + ln(raiz22) - ln(raiz32)

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