Use o método desenvolvido em sala de aula para calcular a área da região triangular limitada pelas retas
r1: 56 x+77 y=-10 r2: 7 x-11 y=-5 r3: 91 x+22 y=40

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a área de um triângulo formado pelas retas , e . Para isso, vamos precisar trabalhar com equações de retas e entender como encontrar os pontos de interseção entre elas. Esses pontos serão os vértices do nosso triângulo, e com eles, conseguiremos calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as retas se encontram, ou seja, as interseções entre cada par de retas. Essas interseções são os vértices do triângulo que queremos.
Vamos começar encontrando a interseção entre r1: 56x + 77y = -10 e r2: 7x - 11y = -5 .
As equações são:
8 times (7x - 11y) = 8 times (-5) Rightarrow 56x - 88y = -40
r1: 56x + 77y = -10
Podemos resolver esse sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação aqui.
Multiplicamos a segunda equação por 8 para facilitar a eliminação de 56x - 88y = -40 :
(56x + 77y) - (56x - 88y) = -10 - (-40) Rightarrow 165y = 30
Agora temos:
y = 30165 = 211
7x - 11(211) = -5 Rightarrow 7x - 2 = -5 Rightarrow 7x = -3 Rightarrow x = -37
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora substituímos o valor de em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar :
Então, a interseção entre e é o ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção entre r1: 56x + 77y = -10 e r3: 91x + 22y = 40 .
As equações são:
22 times (56x + 77y) = 22 times (-10) Rightarrow 1232x + 1694y = -220
77 times (91x + 22y) = 77 times 40 Rightarrow 7007x + 1694y = 3080
Podemos resolver esse sistema também por eliminação. Vamos multiplicar (7007x + 1694y) - (1232x + 1694y) = 3080 - (-220) Rightarrow 5775x = 3300 por 22 e x = 33005775 = 132231 = 4477 = 47 por 77 para igualar os coeficientes de 56(47) + 77y = -10 Rightarrow 32 + 77y = -10 Rightarrow 77y = -42 Rightarrow y = -4277 = -611 :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora substituímos em :
Então, a interseção entre e é o ponto .

Passo 4

Por último, vamos encontrar a interseção entre r2: 7x - 11y = -5 e r3: 91x + 22y = 40 .
As equações são:
2 times (7x - 11y) = 2 times (-5) Rightarrow 14x - 22y = -10
14x - 22y = -10
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar 91x + 22y = 40 por 2 para facilitar a eliminação:
(14x - 22y) + (91x + 22y) = -10 + 40 Rightarrow 105x = 30
Agora temos:
x = 30105 = 27
7(27) - 11y = -5 Rightarrow 2 - 11y = -5 Rightarrow -11y = -7 Rightarrow y = 711
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Então, a interseção entre e é o ponto .

Passo 5

Agora que temos os três vértices do triângulo:
A(-37, 211), B(47, -611), C(27, 711)
Vamos calcular a área do triângulo usando a fórmula da área a partir das coordenadas dos vértices:
Área = 12 | xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB) | Á
Substituindo os valores:
Área = 12 | (-37)(-611 - 711) + (47)(711 - 211) + (27)(211 - (-611)) | Á
Vamos calcular cada parte:
-37(-1311) = 3977
47(511) = 2077
27(811) = 1677
Somando:
3977 + 2077 + 1677 = 7577
Finalmente, multiplicamos por Área = 12 times 7577 = 75154 :
Á

Resposta

A área da região triangular limitada pelas retas dadas é unidades de área.

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