Sejam
e
. Sem calcular
ou
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos três expressões envolvendo raízes quadradas:
O objetivo é mostrar que
sem precisar calcular
,
ou
. Para isso, vamos usar propriedades das raízes quadradas e simplificações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar expressar cada raiz quadrada de uma forma que facilite a soma
. Vamos supor que cada uma delas possa ser escrita como a soma ou diferença de duas outras raízes quadradas mais simples.
Começamos por
:
Vamos tentar expressar
como
. Expandindo essa expressão:
Comparando com
, vemos que:
Então,
, o que implica
.
Resolvendo o sistema:
Podemos encontrar
e
resolvendo a equação quadrática
, que tem raízes
e
.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos analisar
:
De forma similar, tentamos expressar
como
. Expandindo:
Comparando com
:
Então,
, o que implica
.
Resolvendo o sistema:
As raízes dessa equação são
e
.
Portanto:
Passo 4
Finalmente, vamos ver
:
Tentamos expressar
como
:
Comparando com
:
Então,
, o que implica
.
Resolvendo o sistema:
As soluções são
e
.
Portanto:
Passo 5
Agora, temos:
Vamos somar
:
As
e
se cancelam:
Comparando com
:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Calcule: f)
,
Use fatoração para simplificar
.
Diga se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
pts)
.