Sejam e . Sem calcular ou , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos três expressões envolvendo raízes quadradas:
O objetivo é mostrar que sem precisar calcular , ou . Para isso, vamos usar propriedades das raízes quadradas e simplificações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar expressar cada raiz quadrada de uma forma que facilite a soma . Vamos supor que cada uma delas possa ser escrita como a soma ou diferença de duas outras raízes quadradas mais simples.
Começamos por :
Vamos tentar expressar como . Expandindo essa expressão:
Comparando com , vemos que:
Então, , o que implica .
Resolvendo o sistema:
Podemos encontrar e resolvendo a equação quadrática , que tem raízes e .
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos analisar :
De forma similar, tentamos expressar como . Expandindo:
Comparando com :
Então, , o que implica .
Resolvendo o sistema:
As raízes dessa equação são e .
Portanto:

Passo 4

Finalmente, vamos ver :
Tentamos expressar como :
Comparando com :
Então, , o que implica .
Resolvendo o sistema:
As soluções são e .
Portanto:

Passo 5

Agora, temos:
Vamos somar :
As e se cancelam:
Comparando com :

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Calcule: f) ,
Use fatoração para simplificar .
Diga se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. pts) .