Calcule f'(3), onde f(x) = x - x^2, usando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular , onde , usando a definição de derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicá-la usando o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto . A definição de derivada é:
Vamos usar essa fórmula para encontrar .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula. Sabemos que , então:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 6

Finalmente, aplicamos o limite quando tende a 0:

Resposta

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