Calcule f'(p), pela definição, sendo dados f(x) = raiz3(x) e p = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de no ponto pela definição. A função que estamos trabalhando é , que é a raiz cúbica de . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que envolve limites. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto , denotada por , é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função quando tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na definição. Sabemos que e . Então, substituindo na fórmula acima:
Nossa tarefa agora é calcular esse limite.

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos manipular a expressão para simplificar. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No caso de raízes cúbicas, usamos a identidade:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite quando tende a 0. Quando vai para 0, se aproxima de . Então, substituindo :

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é:

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