Calcule
, pela definição, sendo dados
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de
no ponto
pela definição. A função que estamos trabalhando é
, que é a raiz cúbica de
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que envolve limites. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
, denotada por
, é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função quando
tende a zero.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que temos na definição. Sabemos que
e
. Então, substituindo na fórmula acima:
Nossa tarefa agora é calcular esse limite.
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos manipular a expressão para simplificar. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No caso de raízes cúbicas, usamos a identidade:
Aplicando isso, temos:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite quando
tende a 0. Quando
vai para 0,
se aproxima de
. Então, substituindo
:
Resposta
Portanto, a derivada de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.
Mostre que
Resolva as integrais definidas utilizando mudança de variável:
a)
a)
Determine a equação da reta tangente em
, sendo dados
e