Calcule , pela definição, sendo dados e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de no ponto pela definição. A função que estamos trabalhando é , que é a raiz cúbica de . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que envolve limites. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto , denotada por , é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função quando tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na definição. Sabemos que e . Então, substituindo na fórmula acima:
Nossa tarefa agora é calcular esse limite.

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos manipular a expressão para simplificar. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No caso de raízes cúbicas, usamos a identidade:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite quando tende a 0. Quando vai para 0, se aproxima de . Então, substituindo :

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é:

Exercícios relacionados

Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.
Mostre que
Resolva as integrais definidas utilizando mudança de variável:
a)
Determine a equação da reta tangente em , sendo dados e