Resolva as integrais definidas utilizando mudança de variável:
a) integral0^2 pi sen(x) cos ^2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^2 pi sin(x) cos^2(x) , dx usando a técnica de mudança de variável. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que temos sin(x) multiplicando cos^2(x). Vamos escolher u = cos(x).

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
u = cos(x) dudx = -sin(x) du = -sin(x) , dx

Passo 4

Rearranjamos a expressão para du para substituir na integral:
sin(x) , dx = -du

Passo 5

Substituímos u e du na integral original:
integral0^2 pi sin(x) cos^2(x) , dx = integralu(0)^u(2pi) cos^2(x) cdot sin(x) , dx = integralu=1^u=1 u^2 cdot (-du)

Passo 6

Observamos que os limites de integração após a substituição são de u=1 a u=1. Isso significa que a integral está sendo avaliada do mesmo ponto ao mesmo ponto, o que resulta em zero.

Resposta

A integral integral0^2 pi sin(x) cos^2(x) , dx é igual a 0.

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