Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as assíntotas horizontais e verticais da função
e depois traçarmos o gráfico. Isso envolve entender assíntotas, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca. Vamos precisar usar conceitos de limites e simplificação de frações algébricas para identificar essas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Note que no numerador temos uma diferença de quadrados:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Então, resolvemos:
Portanto, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito (
) e a menos infinito (
).
Considerando a função simplificada:
Quando
ou
, o termo
se aproxima de 0, então:
Isso indica que não há uma assíntota horizontal, pois a função cresce sem limites. Na verdade, temos uma assíntota oblíqua (ou inclinada), que é a linha
.
Passo 5
Resumindo:
- Assíntota vertical:
- Assíntota oblíqua:
Com essas informações, podemos traçar o gráfico da função, mostrando como ele se aproxima dessas assíntotas.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota oblíqua em
.
Exercícios relacionados
Mostre que
Determine o domínio de
e calcule
e
.
Calcule
, pela definição, sendo dados
e
Resolva as integrais definidas utilizando mudança de variável:
a)
a)