Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as assíntotas horizontais e verticais da função e depois traçarmos o gráfico. Isso envolve entender assíntotas, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca. Vamos precisar usar conceitos de limites e simplificação de frações algébricas para identificar essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Note que no numerador temos uma diferença de quadrados:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Então, resolvemos:
Portanto, temos uma assíntota vertical em .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito ( ) e a menos infinito ( ).
Considerando a função simplificada:
Quando ou , o termo se aproxima de 0, então:
Isso indica que não há uma assíntota horizontal, pois a função cresce sem limites. Na verdade, temos uma assíntota oblíqua (ou inclinada), que é a linha .

Passo 5

Resumindo:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota oblíqua:
Com essas informações, podemos traçar o gráfico da função, mostrando como ele se aproxima dessas assíntotas.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota oblíqua em .

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Mostre que
Determine o domínio de e calcule e .
Calcule , pela definição, sendo dados e
Resolva as integrais definidas utilizando mudança de variável:
a)