Determine a expressão de (f^{-1})'(f(x)), lembrando que (f^{-1})'(f(x)) = 1/f'(x).
a) f(x) = x^2 + 4x - 2
b) f(x) = 3 + 2 cos(2 x) ; 0 < x < pi/2
c) f(x) = (3x - 2) / (x + 2)
d) f(x) = sen(ln(x)); e^(-pi/2) < x < e^(pi/2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a expressão de (f^{-1})'(f(x)). Isso faz parte do estudo de funções inversas e suas derivadas. Para isso, vamos usar a fórmula . Precisamos calcular a derivada de cada função f(x) fornecida e então aplicar essa fórmula.

a)

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f(x). A derivada de uma função polinomial é encontrada aplicando a regra do poder.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula .

Passo 4

Vamos determinar a expressão de (f^{-1})'(f(x)) para a função no intervalo . Usaremos a fórmula .

Passo 5

Primeiro, encontramos a derivada de f(x). Para funções trigonométricas, usamos as regras de derivação das funções cosseno.

Passo 6

Aplicamos a fórmula para encontrar (f^{-1})'(f(x)).

Passo 7

Vamos determinar (f^{-1})'(f(x)) para a função . Novamente, usaremos a fórmula .

Passo 8

Primeiro, calculamos a derivada de f(x) usando a regra do quociente.

Passo 9

Aplicamos a fórmula para encontrar (f^{-1})'(f(x)).

Passo 10

Vamos determinar (f^{-1})'(f(x)) para a função no intervalo . Usaremos a fórmula .

Passo 11

Primeiro, calculamos a derivada de f(x). Precisamos usar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 12

Aplicamos a fórmula para encontrar (f^{-1})'(f(x)).

Resposta

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