Calcule
sabendo que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função vetorial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais, diferenciando cada componente da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes em relação a
. Assim, vamos calcular:
- A derivada de
em relação a . - A derivada de
em relação a . - A derivida de
em relação a .
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (pela regra da cadeia).
Aplicando a regra do produto:
Então, a derivada da primeira componente é
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. A derivada de
em relação a
é:
Portanto, a derivada da segunda componente é
.
Passo 5
Por fim, temos a terceira componente:
. Aqui,
representa a função arco-seno hiperbólico de
, também conhecida como
. A derivada de
em relação a
é:
Assim, a derivada da terceira componente é
.
Resposta
Juntando todas as derivadas das componentes, temos:
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.
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.