Calcule sabendo que: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função vetorial . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais, diferenciando cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes em relação a . Assim, vamos calcular:
  1. A derivada de em relação a .
  2. A derivada de em relação a .
  3. A derivida de em relação a .

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: . Aqui, temos um produto de duas funções de : e . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é (pela regra da cadeia).
Aplicando a regra do produto:
Então, a derivada da primeira componente é .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: . A derivada de em relação a é:
Portanto, a derivada da segunda componente é .

Passo 5

Por fim, temos a terceira componente: . Aqui, representa a função arco-seno hiperbólico de , também conhecida como . A derivada de em relação a é:
Assim, a derivada da terceira componente é .

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, temos:

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