Calcule f'(t) sabendo que: f(t) = (2 t - 3)^3 i + e^(-5 t) j + ln(t) k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial f(t) em relação a t. A função dada é:
Vamos precisar conhecer como derivar funções escalares e aplicar isso a cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes individualmente. Ou seja, se , então:
Vamos aplicar isso à nossa função.

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente: .
Usamos a regra da cadeia. Seja , então a derivada de em relação a t é:
Então, a derivada da primeira componente é .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: .
A derivada de , onde k é uma constante, é . Aqui, , então:
Portanto, a derivada da segunda componente é .

Passo 5

Por fim, a terceira componente: .
A derivada de em relação a t é . Assim:
Então, a derivada da terceira componente é .

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, temos:

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