Calcule f'(t) sabendo que: f(t) = e^(sen(t^2)) i + sen(cos(tg(t))) j + e^(sec(3t)) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função vetorial f(t), que está definida por:
Isso envolve derivação de funções vetoriais, onde cada componente da função é derivada individualmente. Vamos usar regras de derivação como a regra da cadeia para resolver cada parte.

Passo 2

Vamos começar derivando a primeira componente da função, que é .
A regra da derivada da função exponencial é:
Aqui, . Então, precisamos derivar :
Portanto, a derivada da primeira componente é:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente: .
Aplicamos a regra da cadeia novamente. Seja , então:
Agora, derivamos v(t):
Então, a derivada da segunda componente fica:

Passo 4

Por fim, vamos derivar a terceira componente: .
Usamos novamente a regra da cadeia para a função exponencial:
Aqui, . Derivando w(t):
Então, a derivada da terceira componente é:

Resposta

A derivada da função vetorial f(t) é:

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