Calcule f'(t) sabendo que: f(t) = t^t i + e^(2 t^2) j + 5^(t^2) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função vetorial . Isso envolve cálculo de derivadas de funções exponenciais e funções com expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de derivação, especialmente para funções do tipo onde a é uma constante e u(t) é uma função de t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função do tipo . A regra geral para derivar é:
Isso significa que você multiplica a função original por o logaritmo natural da base a e pela derivada de u(t).

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra a cada componente da nossa função vetorial f(t). Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 4

Para a componente i:
Para derivar t^t, podemos reescrever como e aplicar a regra da cadeia:

Passo 5

Para a componente vec(j):
Aqui, a função é uma exponencial com expoente . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Para a componente k:
Usando a regra mencionada no Passo 2:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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