Seja a região delimitada pelo gráfico de e o eixo-x de a . Estabeleça uma soma de integrais, que não contenha o símbolo de valor absoluto, para calcular a área de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a área da região que está delimitada pelo gráfico da função e pelo eixo-x, no intervalo de até . Vamos usar o conceito de integrais para calcular essa área, mas queremos evitar usar o símbolo de valor absoluto na expressão final. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta nesse intervalo e dividir a área em partes que podemos integrar separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar onde a função cruza o eixo-x, ou seja, onde . Esses pontos são importantes porque eles dividem o intervalo em subintervalos onde a função está completamente acima ou abaixo do eixo-x. Vamos chamar esses pontos de .

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo em subintervalos baseados nos pontos . Assim, teremos:
Em cada subintervalo, a função manterá seu sinal (positiva ou negativa).

Passo 4

Para calcular a área total, vamos integrar em cada subintervalo. Quando está acima do eixo-x (positiva), a integral direta dá a área. Quando está abaixo do eixo-x (negativa), a integral dá um valor negativo, que representa a área “invertida”. Para obter a área total sem usar valor absoluto, podemos somar as integrais dos subintervalos positivos e subtrair as integrais dos subintervalos negativos.

Passo 5

Assim, a soma das integrais para calcular a área de fica:
Aqui, as integrais positivas representam as áreas onde está acima do eixo-x, e as integrais subtraídas representam as áreas onde está abaixo do eixo-x.

Resposta

A área de pode ser calculada pela soma das integrais nos subintervalos onde é positiva menos a soma das integrais onde é negativa, sem usar valor absoluto:
Á

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Calcule sabendo que: .
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