Seja
a região delimitada pelo gráfico de
e o eixo-x de
a
. Estabeleça uma soma de integrais, que não contenha o símbolo de valor absoluto, para calcular a área de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a área da região
que está delimitada pelo gráfico da função
e pelo eixo-x, no intervalo de
até
. Vamos usar o conceito de integrais para calcular essa área, mas queremos evitar usar o símbolo de valor absoluto na expressão final. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta nesse intervalo e dividir a área em partes que podemos integrar separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar onde a função
cruza o eixo-x, ou seja, onde
. Esses pontos são importantes porque eles dividem o intervalo
em subintervalos onde a função está completamente acima ou abaixo do eixo-x. Vamos chamar esses pontos de
.
Passo 3
Agora, vamos dividir o intervalo
em subintervalos baseados nos pontos
. Assim, teremos:
Em cada subintervalo, a função
manterá seu sinal (positiva ou negativa).
Passo 4
Para calcular a área total, vamos integrar
em cada subintervalo. Quando
está acima do eixo-x (positiva), a integral direta dá a área. Quando
está abaixo do eixo-x (negativa), a integral dá um valor negativo, que representa a área “invertida”. Para obter a área total sem usar valor absoluto, podemos somar as integrais dos subintervalos positivos e subtrair as integrais dos subintervalos negativos.
Passo 5
Assim, a soma das integrais para calcular a área de
fica:
Aqui, as integrais positivas representam as áreas onde
está acima do eixo-x, e as integrais subtraídas representam as áreas onde
está abaixo do eixo-x.
Resposta
A área de
pode ser calculada pela soma das integrais nos subintervalos onde
é positiva menos a soma das integrais onde
é negativa, sem usar valor absoluto:
Exercícios relacionados
Use a Definição (5.16) para expressar cada limite como uma integral definida no intervalo dado
Se
e
é a partição de
definida por
, ache uma soma de Riemann
de
escolhendo os números
e 4 nos subintervalos de
.
Calcule
sabendo que:
.
Calcule
sabendo que:
.