Determine o domínio de
e o vetor
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o domínio da função vetorial
e também calcular o vetor
quando
. A matéria que vamos precisar envolve funções exponenciais, funções trigonométricas inversas e logaritmos. Vamos precisar verificar onde cada componente da função está bem definida para encontrar o domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial:
. A função exponencial
está definida para todo número real
. Então, não há restrições para essa parte.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. A função arco seno é definida apenas para valores de
que estão no intervalo
. Ou seja,
tem que ser maior ou igual a
e menor ou igual a
para que
exista.
Passo 4
Por fim, temos a terceira componente:
. O logaritmo natural
só está definido quando
. Portanto,
precisa ser maior que zero:
Então,
deve ser menor que
para essa parte estar definida.
Passo 5
Para encontrar o domínio da função vetorial
, precisamos que todas as componentes estejam definidas simultaneamente. Isso significa que precisamos pegar a interseção dos intervalos onde cada componente é válida:
- De
: todo - De
: - De
:
A interseção dos intervalos
e
é simplesmente
. Portanto, o domínio de
é todo número real
tal que
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o vetor
quando
. Basta substituir
por
em cada componente da função vetorial:
Vamos resolver cada parte:
-
-
(pois o seno de 0 é 0) -
Então,
.
Resposta
O domínio de
é
e o vetor
é
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio de
e o vetor
:
Calcule
sabendo que:
.
Determine o domínio de
e o vetor
:
Determine o domínio de
e o vetor
: