Determine o domínio de e o vetor :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o domínio da função vetorial e também calcular o vetor quando . A matéria que vamos precisar envolve funções exponenciais, funções trigonométricas inversas e logaritmos. Vamos precisar verificar onde cada componente da função está bem definida para encontrar o domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial: . A função exponencial está definida para todo número real . Então, não há restrições para essa parte.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . A função arco seno é definida apenas para valores de que estão no intervalo . Ou seja, tem que ser maior ou igual a e menor ou igual a para que exista.

Passo 4

Por fim, temos a terceira componente: . O logaritmo natural só está definido quando . Portanto, precisa ser maior que zero:
Então, deve ser menor que para essa parte estar definida.

Passo 5

Para encontrar o domínio da função vetorial , precisamos que todas as componentes estejam definidas simultaneamente. Isso significa que precisamos pegar a interseção dos intervalos onde cada componente é válida:
  • De : todo
  • De :
  • De :
A interseção dos intervalos e é simplesmente . Portanto, o domínio de é todo número real tal que .

Passo 6

Agora, vamos calcular o vetor quando . Basta substituir por em cada componente da função vetorial:
Vamos resolver cada parte:
  • (pois o seno de 0 é 0)
Então, .

Resposta

O domínio de é e o vetor é .

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Calcule sabendo que: .
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