Calcule usando a definição, nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de no ponto usando a definição de derivada. Aqui, estamos falando de cálculo diferencial, especificamente da definição de derivada como o limite da taxa de variação. Vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pelo limite para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada:
Isso significa que vamos calcular o limite conforme se aproxima de zero da diferença das funções dividida por .

Passo 3

Vamos substituir a função e na fórmula:
Agora, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão . Sabemos que , então podemos expandir usando uma aproximação para pequenos valores de :
Isso nos ajuda a simplificar o limite.

Passo 7

Substituindo a aproximação na expressão da derivada:
Simplificando o numerador:

Passo 8

Agora, a expressão fica:

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é:

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