Calcule
usando a definição, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada de
no ponto
usando a definição de derivada. Aqui, estamos falando de cálculo diferencial, especificamente da definição de derivada como o limite da taxa de variação. Vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pelo limite para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada:
Isso significa que vamos calcular o limite conforme
se aproxima de zero da diferença das funções dividida por
.
Passo 3
Vamos substituir a função
e
na fórmula:
Agora, vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, então podemos expandir usando uma aproximação para pequenos valores de
:
Isso nos ajuda a simplificar o limite.
Passo 7
Substituindo a aproximação na expressão da derivada:
Simplificando o numerador:
Passo 8
Agora, a expressão fica:
Resposta
Portanto, a derivada de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge.
Determine se a série converge ou diverge.
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
;
Siga os seguintes passos:
- Use os itens anteriores para encontrar uma série de potências para
Qual é o raio de convergência?