Siga os seguintes passos:
  • Use os itens anteriores para encontrar uma série de potências para
h(x) = x^2 / (1 + x^2)^3
Qual é o raio de convergência?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de potências para a função
h(x) = x^2 / (1 + x^2)^3
e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e propriedades de séries conhecidas para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma que possamos aplicar a fórmula da expansão em série. Observamos que o denominador é uma potência de . Sabemos que a série de Taylor para é dada por:
onde e é o coeficiente binomial.

Passo 3

No nosso caso, temos no denominador, o que pode ser reescrito como . Assim, podemos aplicar a fórmula da série de potências:

Passo 4

Calculando o coeficiente binomial:
Portanto, a série fica:

Passo 5

Agora, multiplicamos a série encontrada por x^2 para obter h(x):
Simplificando, temos:

Passo 6

Podemos reescrever o índice da soma para facilitar a visualização:
Deixe , então quando , , e . Substituindo na série:
Mas para manter a série iniciando em k = 0, podemos manter a expressão anterior.

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão. Observamos que a série geral é:
Aplicando o teste da razão:
Para convergência, precisamos que , ou seja:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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