Use os itens anteriores para encontrar uma série de potências para
Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de potências para a função
e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e propriedades de séries conhecidas para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de forma que possamos aplicar a fórmula da expansão em série. Observamos que o denominador é uma potência de . Sabemos que a série de Taylor para é dada por:
onde e é o coeficiente binomial.
Passo 3
No nosso caso, temos no denominador, o que pode ser reescrito como . Assim, podemos aplicar a fórmula da série de potências:
Passo 4
Calculando o coeficiente binomial:
Portanto, a série fica:
Passo 5
Agora, multiplicamos a série encontrada por para obter :
Simplificando, temos:
Passo 6
Podemos reescrever o índice da soma para facilitar a visualização:
Deixe , então quando , , e . Substituindo na série:
Mas para manter a série iniciando em , podemos manter a expressão anterior.
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão. Observamos que a série geral é: