Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Então, você quer descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente séries alternadas, para resolver isso. Precisaremos entender o teste da série alternada e verificar algumas condições para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a forma da série:
. Ela é uma série alternada porque os termos têm sinais que mudam (-1)^n alterna entre positivo e negativo conforme n aumenta. Isso nos indica que podemos usar o Teste da Série Alternada para investigar a convergência.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
convergerá se duas condições forem satisfeitas:
-
for uma sequência positiva que está diminuindo. - O limite de
quando tende ao infinito for zero, ou seja, .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identifiquemos
. Precisamos verificar se
é positivo e se está diminuindo conforme n aumenta.
- Positividade: Para
, e são positivos, então também é positivo. - Decrescimento: Vamos ver se
. Como e , então o denominador é maior que . Isso faz com que . Portanto, está realmente diminuindo.
Passo 5
Agora, vamos verificar o segundo critério do teste: o limite de
quando
tende ao infinito.
À medida que
aumenta, tanto
quanto
aumentam sem limites, então o denominador
também cresce para o infinito. Isso significa que:
Portanto, o segundo critério está satisfeito.
Resposta
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série
converge.
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Resolva cada equação em
. (a)
Resolva cada inequação em
. (a)
Determine se a série converge ou diverge.
Calcule
usando a definição, nos seguintes casos: