Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Então, você quer descobrir se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente séries alternadas, para resolver isso. Precisaremos entender o teste da série alternada e verificar algumas condições para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a forma da série: . Ela é uma série alternada porque os termos têm sinais que mudam (-1)^n alterna entre positivo e negativo conforme n aumenta. Isso nos indica que podemos usar o Teste da Série Alternada para investigar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma convergerá se duas condições forem satisfeitas:
  1. for uma sequência positiva que está diminuindo.
  2. O limite de quando tende ao infinito for zero, ou seja, .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos . Precisamos verificar se é positivo e se está diminuindo conforme n aumenta.
  1. Positividade: Para , e são positivos, então também é positivo.
  2. Decrescimento: Vamos ver se . Como e , então o denominador é maior que . Isso faz com que . Portanto, está realmente diminuindo.

Passo 5

Agora, vamos verificar o segundo critério do teste: o limite de quando tende ao infinito.
À medida que aumenta, tanto quanto aumentam sem limites, então o denominador também cresce para o infinito. Isso significa que:
Portanto, o segundo critério está satisfeito.

Resposta

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série converge.

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Resolva cada equação em . (a)
Resolva cada inequação em . (a)
Determine se a série converge ou diverge.
Calcule usando a definição, nos seguintes casos: