Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função f(x) = 5 sen(x) - 4 cos(x). Justifique. f^(1234)(x) = f^(18)(x);

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisamos decidir se a afirmação é verdadeira ou não. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre derivadas de funções trigonométricas e como elas se comportam quando derivamos várias vezes.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que quando derivamos funções trigonométricas como seno e cosseno, elas se repetem em um ciclo de quatro derivadas:
Ou seja, a cada quatro derivadas, a função volta ao original.

Passo 3

Agora, já que o ciclo se repete a cada quatro derivadas, podemos usar a ideia de congruência para simplificar os índices das derivadas. Queremos comparar a 1234ª derivada com a 18ª.
Primeiro, vamos dividir 1234 e 18 por 4 para ver o resto:
Isso significa que tanto a 1234ª como a 18ª derivada correspondem à segunda posição no ciclo de quatro.

Passo 4

Sabendo disso, podemos concluir que:
Portanto, .

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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