Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série infinita
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, percebemos que a série é alternada devido ao termo
. Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo a cada termo, o que pode ajudar na convergência mesmo que a série dos valores absolutos não convirja.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz). Esse teste diz que se os termos da série, sem considerar o sinal,
, verificam três condições:
- Positivos:
para todo . - Decrescentes:
para todo . - Tendem a zero:
.
Se todas essas condições forem verdadeiras, a série alternada converge.
Passo 4
Vamos verificar cada condição:
-
Positivos:
é sempre positivo para e também é positivo. Ent��o, . -
Decrescentes:
cresce com , mas cresce mais rápido. Portanto, diminui conforme aumenta. -
Tendem a zero:
Então,
tende a zero.
Passo 5
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfatórias, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge.
Resolva cada equação em
. (a)
Calcule
usando a definição, nos seguintes casos:
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
;