Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a série é alternada devido ao termo . Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo a cada termo, o que pode ajudar na convergência mesmo que a série dos valores absolutos não convirja.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz). Esse teste diz que se os termos da série, sem considerar o sinal, , verificam três condições:
  1. Positivos: para todo .
  2. Decrescentes: para todo .
  3. Tendem a zero: .
Se todas essas condições forem verdadeiras, a série alternada converge.

Passo 4

Vamos verificar cada condição:
  1. Positivos: é sempre positivo para e também é positivo. Ent��o, .
  2. Decrescentes: cresce com , mas cresce mais rápido. Portanto, diminui conforme aumenta.
  3. Tendem a zero:
Então, tende a zero.

Passo 5

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfatórias, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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Resolva cada equação em . (a)
Calcule usando a definição, nos seguintes casos:
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique. ;