Calcule f'(x) pela definição: f(x) = x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de usando a definição da derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicá-la passo a passo. Vamos precisar da definição de derivada e um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso basicamente mede a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituímos na fórmula:

Passo 4

Precisamos expandir . Usando a fórmula do binômio de Newton:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 6

Simplificamos cancelando :

Passo 7

Fatoramos no numerador:

Passo 8

Cancelamos o que está no numerador e no denominador:

Passo 9

Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada de é .

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