Exercício 4
Provar que a função é contínua se:
é uma função tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra provar que a função é contínua. A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua e usar as definições e propriedades básicas dessa continuação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor de . Ou seja:
Para que a função seja contínua em todo o domínio, ela precisa ser contínua em cada ponto desse domínio.

Passo 3

A função que estamos analisando é . Vamos verificar a continuidade dessa função em todo o conjunto dos números reais . A função valor absoluto é uma função conhecida que produz sempre números não negativos, e sua representação gráfica é uma “V” simétrica em relação ao eixo .

Passo 4

Vamos verificar a continuidade nos diferentes pontos:
  1. Para :
    Essa é uma função linear, que sabemos ser contínua em todo o seu domínio.
  2. Para :
    Também uma função linear e, portanto, contínua.
  3. No ponto :
    Precisamos verificar o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita.
    Como ambos os limites laterais são iguais e iguais a , a função também é contínua nesse ponto.

Resposta

Portanto, a função é contínua em todo .

Exercícios relacionados

Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
a) , nos pontos em que
b) , no ponto de abscissa
Determinar a derivada da função sabendo que é a inversa da função f, isto é, :
a)
b) , para e
Calcule pela definição:
Seja g(x)= Esboce o gráfico de .