Exercício 4
Provar que a função
é contínua se:
é uma função tal que
.
Provar que a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra provar que a função
é contínua. A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua e usar as definições e propriedades básicas dessa continuação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor de
. Ou seja:
Para que a função seja contínua em todo o domínio, ela precisa ser contínua em cada ponto desse domínio.
Passo 3
A função que estamos analisando é
. Vamos verificar a continuidade dessa função em todo o conjunto dos números reais
. A função valor absoluto é uma função conhecida que produz sempre números não negativos, e sua representação gráfica é uma “V” simétrica em relação ao eixo
.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade nos diferentes pontos:
-
Para
: Essa é uma função linear, que sabemos ser contínua em todo o seu domínio. -
Para
: Também uma função linear e, portanto, contínua. -
No ponto
:
Precisamos verificar o limite quandose aproxima de 0 pela esquerda e pela direita. Como ambos os limites laterais são iguais e iguais a, a função também é contínua nesse ponto.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em todo
.