Calcule f'(x) pela definição. f(x) = (x - 3) / (2x + 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de usando a definição de derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicá-la passo a passo. Vamos precisar usar a definição básica de derivada e manipular um pouco de álgebra para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo por na função:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão :
Para facilitar, vamos achar um denominador comum para subtrair as frações.

Passo 5

O denominador comum entre e é . Então, reescrevemos as frações com esse denominador:

Passo 6

Vamos expandir os numeradores:

Passo 7

Subtraindo as duas expressões:
Então, o numerador simplifica para .

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão original da derivada:

Passo 9

Como tende a zero, podemos substituir por 0 na expressão:

Resposta

A derivada de é:

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