Calcule
pela definição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de
usando a definição de derivada. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicá-la passo a passo. Vamos precisar usar a definição básica de derivada e manipular um pouco de álgebra para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação da função quando
tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
por
na função:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão
:
Para facilitar, vamos achar um denominador comum para subtrair as frações.
Passo 5
O denominador comum entre
e
é
. Então, reescrevemos as frações com esse denominador:
Passo 6
Vamos expandir os numeradores:
Passo 7
Subtraindo as duas expressões:
Então, o numerador simplifica para
.
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão original da derivada:
Passo 9
Como
tende a zero, podemos substituir
por 0 na expressão:
Resposta
A derivada de
é: