lim t 4 2 t^3-11 t^2+10 t+83 t^3-17 t^2+16 t+16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com funções polinomiais e queremos descobrir o valor que essa expressão se aproxima quando chega perto de 4. Para resolver, vamos precisar substituir o valor de na função e, se necessário, simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente. Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Calculando o numerador:
2(4)^3 - 11(4)^2 + 10(4) + 8 = 2(64) - 11(16) + 40 + 8 = 128 - 176 + 40 + 8 = 0
Então, o numerador vale 0 quando .

Passo 4

Agora, calculando o denominador:
3(4)^3 - 17(4)^2 + 16(4) + 16 = 3(64) - 17(16) + 64 + 16 = 192 - 272 + 64 + 16 = 0
O denominador também vale 0 quando . Isso significa que temos uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 5

Quando encontramos uma forma 2t^3 - 11t^2 + 10t + 8 = (t - 4)(2t^2 - 3t - 2) , podemos tentar fatorar o numerador e o denominador para cancelar o fator comum. Vamos fatorar 3t^3 - 17t^2 + 16t + 16 = (t - 4)(3t^2 - 5t - 4) de ambos.
Primeiro, fatorando o numerador :
Agora, fatorando o denominador :

Passo 6

Agora que fatoramos, podemos cancelar o termo (t - 4)(2t^2 - 3t - 2)(t - 4)(3t^2 - 5t - 4) = 2t^2 - 3t - 23t^2 - 5t - 4 que está presente no numerador e no denominador:
Agora, substituímos nessa nova expressão.

Passo 7

Substituindo 2(4)^2 - 3(4) - 23(4)^2 - 5(4) - 4 = 2(16) - 12 - 23(16) - 20 - 4 = 32 - 12 - 248 - 20 - 4 = 1824 = 34 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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