Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
b) f(x) = x * e^(-x^2)

Passo 1

Vamos analisar a função . Nosso objetivo é identificar assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas, encontrar valores críticos de primeira e segunda ordem, determinar extremos relativos e absolutos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e esboçar o gráfico indicando os interceptos com os eixos e . Para isso, precisaremos usar conceitos de derivadas, limites e análise de comportamento de funções.

Passo 2

Assíntotas Horizontais:
Vamos calcular o limite de quando tende a e :
Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em .
Assíntotas Verticais e Inclinadas:
Não existem valores de que tornem indefinida, então não há assíntotas verticais ou inclinadas.

Passo 3

Para encontrar os valores críticos, precisamos calcular a primeira derivada :
Usando a regra do produto:

Passo 4

Encontramos os valores críticos resolvendo :
Como para todo , temos:
Portanto, os valores críticos são e .

Passo 5

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento analisando o sinal de :
  • Para : => => Crescente.
  • Para : => => Decrescente.
    Portanto:
  • Cresce em .
  • Decresce em .

Passo 6

Calculamos a segunda derivada para analisar a concavidade:
Usando a regra do produto:

Passo 7

Encontramos os pontos de inflexão resolvendo :
Como , temos:
ou
Portanto, os pontos de inflexão são , e .

Passo 8

Para determinar os extremos relativos e absolutos, avaliamos nos valores críticos:
Como é par, esses pontos são extremos relativos:
  • Máximo relativo em .
  • Mínimo relativo em .
Não há valores absolutos máximos ou mínimos, já que tende a zero em .

Passo 9

Interceptos:
  • Intercepto com : .
  • Interceptos com : quando .
Concavidade:
  • Concava para cima em .
  • Concava para baixo em .
Pontos de Inflexão:
  • , , .

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em . Tem extremos relativos em (máximo relativo) e (mínimo relativo). Cresce no intervalo e decresce em . Possui pontos de inflexão em , e , com concavidade para cima em e para baixo em . O gráfico intercepta os eixos nos pontos .

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