Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
b)
b)
Passo 1
Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é identificar assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas, encontrar valores críticos de primeira e segunda ordem, determinar extremos relativos e absolutos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e esboçar o gráfico indicando os interceptos com os eixos
e
. Para isso, precisaremos usar conceitos de derivadas, limites e análise de comportamento de funções.
Passo 2
Assíntotas Horizontais:
Vamos calcular o limite de quando
tende a
e
:
Vamos calcular o limite de
Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em
.
Assíntotas Verticais e Inclinadas:
Não existem valores de que tornem
indefinida, então não há assíntotas verticais ou inclinadas.
Não existem valores de
Passo 3
Para encontrar os valores críticos, precisamos calcular a primeira derivada
:
Usando a regra do produto:
Passo 4
Encontramos os valores críticos resolvendo
:
Como
para todo
, temos:
Portanto, os valores críticos são
e
.
Passo 5
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento analisando o sinal de
:
- Para
: => => Crescente. - Para
: => => Decrescente.
Portanto: - Cresce em
. - Decresce em
.
Passo 6
Calculamos a segunda derivada
para analisar a concavidade:
Usando a regra do produto:
Passo 7
Encontramos os pontos de inflexão resolvendo
:
Como
, temos:
Portanto, os pontos de inflexão são
,
e
.
Passo 8
Para determinar os extremos relativos e absolutos, avaliamos
nos valores críticos:
Como
é par, esses pontos são extremos relativos:
- Máximo relativo em
. - Mínimo relativo em
.
Não há valores absolutos máximos ou mínimos, já que
tende a zero em
.
Passo 9
Interceptos:
- Intercepto com
: . - Interceptos com
: quando .
Concavidade:
- Concava para cima em
. - Concava para baixo em
.
Pontos de Inflexão:
-
, , .
Resposta
A função
possui uma assíntota horizontal em
. Tem extremos relativos em
(máximo relativo) e
(mínimo relativo). Cresce no intervalo
e decresce em
. Possui pontos de inflexão em
,
e
, com concavidade para cima em
e para baixo em
. O gráfico intercepta os eixos nos pontos
.